Suspensão de carvão deve ser transportada por uma linha horizontal de comprimento equivalente a 50 milhas entre dois reservatórios abertos. Testes experimentais determinaram os parâmetros reológicos da suspensão, que se comporta como fluido power-law com n=0,4 e m=0,792 \mathrm{kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}^{1,6}, e massa específica de 1440 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Qual a potência necessária para o bombeamento de 900 gal/min através um tubo de diâmetro interno constante de 20 cm . Dado: 1 \mathrm{gal}=3,7854 \times 10^{-3} \mathrm{m}^{3}; 1 milha = 1609 m .

Passo 1

O enunciado descreve o transporte de uma suspensão de carvão por uma tubulação horizontal de comprimento equivalente a 50 milhas, com vazão de 900 gal/min e diâmetro interno constante de 20 cm. A suspensão se comporta como um fluido power-law com índice de consistência m=0,792\\ \mathrm{kg/(m\cdot s^{n})}, expoente n=0,4 e massa específica \rho=1440\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Para resolver, vamos usar:
1. Conversão de unidades (comprimento, vazão, diâmetro).
2. Cálculo da velocidade média v via v=Q/A.
3. Definição de fluido power-law: \tau = m\,\dot\gamma^{n}.
4. Número de Reynolds generalizado para power-law:
\mathrm{Re}_{g}=\frac{\rho\,v^{2-n}\,D^{n}}{m}.
5. Regime laminar se \mathrm{Re}_{g}\lesssim2100, com fator de atrito de Darcy f=16/\mathrm{Re}_{g}.
6. Perda de carga pela fórmula de Darcy–Weisbach:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,v^{2}}{2}.
7. Potência da bomba P=\Delta p\;Q.

Passo 2

Converter todas as unidades para o SI:
L = 50\\ \text{milhas}\times1609\\ \mathrm{m/mi} = 80450\\ \mathrm{m},
Q = 900\\ \text{gal/min}\times3{,}7854\times10^{-3}\,\mathrm{m^{3}/gal}\div60\\ = 0{,}05678\\ \mathrm{m^{3}/s},
D = 20\\ \mathrm{cm} = 0{,}20\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Área da seção transversal e velocidade média:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi\,(0{,}20)^{2}}{4} = 0{,}03142\\ \mathrm{m^{2}},
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}05678}{0{,}03142} \approx 1{,}81\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds generalizado:
\mathrm{Re}_{g} = \frac{\rho\,v^{2-n}\,D^{n}}{m} = \frac{1440\,(1{,}81)^{2-0,4}\,(0{,}20)^{0,4}}{0{,}792} \approx 2{,}46\times10^{3}.

Passo 5

Como \mathrm{Re}_{g}\approx2460 está no limite do regime laminar para power-law, adotamos
f = \frac{16}{\mathrm{Re}_{g}} = \frac{16}{2460} \approx 0{,}00650.

Passo 6

Perda de pressão ao longo da tubulação pela Darcy–Weisbach:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,v^{2}}{2} = 0{,}00650 \times \frac{80450}{0{,}20}\times \frac{1440\,(1{,}81)^{2}}{2} \approx 6{,}16\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Potência necessária da bomba:
P = \Delta p \; Q = 6{,}16\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}05678\\ \mathrm{m^{3}/s} \approx 3{,}50\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência necessária é de aproximadamente 3{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{W} (ou 350\\ \mathrm{kW}).

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