Em uma indústria foram coletadas 100 amostras de um produto x. Nesse processo a porcentagem de falha é de 1,5%. Calcule:
a) A probabilidade de essa amostra coletada apresentar 3 defeitos ou menos. R: 9 3 , 4 4 %

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que numa indústria foram coletadas 100 amostras de um produto chamado x, e 1,5% dessas amostras apresentaram falhas. A pergunta é: qual a probabilidade de, nessa coleta de 100 amostras, terem 3 defeitos ou menos? Para resolver isso, vamos usar um pouco de estatística, especificamente a distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos com duas opções, como “falha” ou “não falha”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender alguns conceitos básicos. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (nesse caso, 100 amostras), cada uma com duas possíveis resultados: sucesso (defeito) ou fracasso (sem defeito). Aqui, a probabilidade de sucesso (ter um defeito) é p = 0,015 (1,5%).

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de obter no máximo 3 defeitos em 100 amostras. Isso significa que precisamos calcular a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2 ou 3 defeitos. A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • n = 100 é o número total de amostras,
  • k é o número de defeitos que queremos calcular,
  • p = 0,015 é a probabilidade de defeito,
  • binomnk é a combinação de n itens tomados k a k.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. P(X = 0):
P(X = 0) = binom1000 (0,015)^0 (0,985)^100 = 1 times 1 times 0,985^100
  1. P(X = 1):
P(X = 1) = binom1001 (0,015)^1 (0,985)^99 = 100 times 0,015 times 0,985^99
  1. P(X = 2):
P(X = 2) = binom1002 (0,015)^2 (0,985)^98 = 100 times 992 times 0,015^2 times 0,985^98
  1. P(X = 3):
P(X = 3) = binom1003 (0,015)^3 (0,985)^97 = 100 times 99 times 986 times 0,015^3 times 0,985^97
Depois de calcular cada uma dessas probabilidades, somamos todas elas para obter a probabilidade total de ter 3 defeitos ou menos.

Resposta

A probabilidade de a amostra coletada apresentar 3 defeitos ou menos é aproximadamente 93,44%.

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