Uma moeda não viciada é lançada oito vezes.
a) Qual é a probabilidade de se obter exatamente cinco

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a probabilidade de obter exatamente cinco caras (ou coroas) ao lançar uma moeda justa oito vezes. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Probabilidade Binomial, que é perfeito para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados (no nosso caso, cara ou coroa).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da probabilidade binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em várias tentativas. A fórmula é:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (no nosso caso, 8 lançamentos).
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos (exatamente 5 caras).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (como a moeda é justa, $ p = 0,5 $).

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial binomnk, que representa o número de maneiras de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. Para 8 lançamentos e 5 caras:
k

Passo 4

Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k

Passo 5

Finalmente, multiplicamos todos os componentes para encontrar a probabilidade:
P(5) = 56 times 0,03125 times 0,125 = 56 times 0,00390625 = 0,21875

Resposta

A probabilidade de obter exatamente cinco caras em oito lançamentos é 0,21875 ou 21,875%.

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