Suponha que o número de defeitos de uma máquina seja seguindo uma distribuição de Poisson com lambda=2. Então a probabilidade de uma máquina apresentar mais de 2 defeitos será? R: 32,33%

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado diz que o número de defeitos de uma máquina segue uma distribuição de Poisson com lambda = 2. A gente precisa encontrar a probabilidade de uma máquina apresentar mais de 2 defeitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e utilizar algumas fórmulas para calcular probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de vezes que um evento ocorre em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda cdot lambda^kk!
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência.
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (~2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Queremos a probabilidade de mais de 2 defeitos, ou seja, $ P(X > 2) $. Mas como a distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de exatamente $ k $ eventos, vamos usar a propriedade de que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é 1.
Então,
P(X > 2)
Isso significa que precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $, somar essas probabilidades e subtrair o resultado de 1.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson com $ \lambda = 2 $:
  1. Para $ k = 0 $:
lambda = 2
  1. Para $ k = 1 $:
k = 0
  1. Para $ k = 2 $:
P(X = 0) = e^-2 cdot 2^00! = e^-2 cdot 1 / 1 = e^-2 approx 0,1353

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) approx 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767

Passo 6

Finalmente, calculamos $ P(X > 2) $:
P(X > 2)

Resposta

A probabilidade de uma máquina apresentar mais de 2 defeitos é de aproximadamente 32,33%.

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