Suponha que o número de defeitos de uma máquina seja seguindo uma distribuição de Poisson com
. Então a probabilidade de uma máquina apresentar mais de 2 defeitos será? R: 32,33%
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado diz que o número de defeitos de uma máquina segue uma distribuição de Poisson com
. A gente precisa encontrar a probabilidade de uma máquina apresentar mais de 2 defeitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e utilizar algumas fórmulas para calcular probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de vezes que um evento ocorre em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência.
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (~2,71828).
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Queremos a probabilidade de mais de 2 defeitos, ou seja, $ P(X > 2) $. Mas como a distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de exatamente $ k $ eventos, vamos usar a propriedade de que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é 1.
Então,
Isso significa que precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $, somar essas probabilidades e subtrair o resultado de 1.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson com $ \lambda = 2 $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 6
Finalmente, calculamos $ P(X > 2) $:
Resposta
A probabilidade de uma máquina apresentar mais de 2 defeitos é de aproximadamente 32,33%.