Uma indústria de materiais de construção que trabalha por contrato deseja obter um modelo que permita fazer previsões de seus custos de produção. Para isso tomou uma amostra de 12 registros de contratos escolhida ao acaso, observando que os custos totais e o número de unidades produzidas por lote, os resultados são apresentados à continuação:
Custo total (em <br> 1000 dólares) N^0 de unidades <br> (centenas) Custo total (em <br> 1000 dólares) N^0 de unidades <br> (centenas)
40,9 2,0 48,0 8,0
50,1 10,0 58,0 13,0
47,2 6,0 56,5 10,0
66,1 18,0 42,5 3,0
61,0 15,0 55,0 11,0
56,0 12,0 59,5 12,0
Ajuste os dados a um modelo de regressão linear simples e interprete as estimativas dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para ajustarmos um modelo de regressão linear simples, que é uma técnica usada para entender a relação entre duas variáveis: aqui, o custo total e o número de unidades produzidas por lote. Para isso, vamos precisar calcular alguns valores como médias, coeficientes da regressão e interpretar o que eles significam no contexto do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos 12 registros com o custo total (em milhares de dólares) e o número de unidades produzidas (em centenas). Vamos chamar o custo total de $ Y $ e o número de unidades de $ X $.

Passo 3

Para calcular a regressão, precisamos das médias de $ X $ e $ Y $. A média de $ X $ ($ \bar{X} $) é a soma de todas as unidades dividida pelo número de registros, e a média de $ Y $ ($ \bar{Y} $) é a soma de todos os custos dividida pelo número de registros.

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente angular ($ \beta $) da regressão. Esse coeficiente nos mostra quanto o custo total aumenta (ou diminui) para cada unidade a mais produzida. A fórmula para $ \beta $ é:
beta

Passo 5

Em seguida, calculamos o intercepto ($ \alpha $) da regressão, que é o valor de $ Y $ quando $ X = 0 $. A fórmula para $ \alpha $ é:
alpha

Passo 6

Com $ \alpha $ e $ \beta $ calculados, podemos montar o modelo de regressão linear simples:
alpha
Esse modelo nos permitirá prever o custo total com base no número de unidades produzidas.

Passo 7

Finalmente, vamos interpretar os parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $:
  • $ \alpha $: Representa o custo base quando não há produção (unidades $ X = 0 $).
  • $ \beta $: Indica quanto o custo total aumenta para cada aumento de uma unidade na produção.

Resposta

Após calcular os valores, o modelo de regressão linear simples ajustado é:
Custo Total = alpha + beta times Número de Unidades ú
Onde:
  • $ \alpha $ é o custo inicial quando a produção é zero.
  • $ \beta $ representa o aumento do custo total a cada unidade adicional produzida.
Esse modelo permite prever os custos de produção com base no número de unidades produzidas por lote.

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