Uma indústria de materiais de construção que trabalha por contrato deseja obter um modelo que permita fazer previsões de seus custos de produção. Para isso tomou uma amostra de 12 registros de contratos escolhida ao acaso, observando que os custos totais e o número de unidades produzidas por lote, os resultados são apresentados à continuação:
Custo total (em <br> 1000 dólares) N^0 de unidades <br> (centenas) Custo total (em <br> 1000 dólares) N^0 de unidades <br> (centenas)
40,9 2,0 48,0 8,0
50,1 10,0 58,0 13,0
47,2 6,0 56,5 10,0
66,1 18,0 42,5 3,0
61,0 15,0 55,0 11,0
56,0 12,0 59,5 12,0
Ao nível de 5% de significância pode-se afirmar que o modelo regressão linear é adequado para esse conjunto de dados? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma empresa que quer prever os custos de produção com base no número de unidades produzidas. O que precisamos aqui é usar regressão linear, que é uma técnica estatística para modelar a relação entre duas variáveis. Nosso objetivo é verificar, com um nível de significância de 5%, se o modelo de regressão linear é adequado para os dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é regressão linear. Ela tenta encontrar uma linha reta que melhor se ajusta aos dados, representada pela equação:
Y = a + bX
onde:
  • $ Y $ é a variável dependente (Custo total),
  • $ X $ é a variável independente (Número de unidades),
  • $ a $ é o intercepto,
  • $ b $ é o coeficiente angular.

Passo 3

Para saber se o modelo é adequado, vamos realizar um teste de significância para os coeficientes da regressão. Isso nos ajuda a entender se a relação observada entre $ X $ e $ Y $ é estatisticamente significativa ou se pode ser explicada pelo acaso.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a reta de regressão usando os dados fornecidos. Vamos calcular a média de $ X $ e $ Y $, as somas necessárias para encontrar $ a $ e $ b $.
Cálculos:
  • Média de $ X $ ($ \bar{X} $) e $ Y $ ($ \bar{Y} $)
  • Soma dos produtos $ \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) $
  • Soma dos quadrados $ \sum (X_i - \bar{X})^2 $

Passo 5

Com esses valores, o coeficiente angular $ b $ é dado por:
b
E o intercepto $ a $ por:
b = sum (Xi - barX)(Yi - barY)sum (Xi - barX)^2

Passo 6

Depois de encontrar $ a $ e $ b a çã R^2 $), que indica o quanto da variação em $ Y $ é explicada por $ X $. Um $ R^2 $ próximo de 1 indica um bom ajuste.

Passo 7

Agora, vamos realizar o teste F para verificar se o modelo de regressão é estatisticamente significativo. A hipótese nula ($ H_0 H0 éãé b = 0 b = 0 ó H_a Ha éé b \neq 0 $).

Passo 8

Calculamos o valor de F usando:
F = (R^2 / k)((1 - R^2) / (n - k - 1))
onde:
  • $ k $ é o número de variáveis independentes (neste caso, 1),
  • $ n $ é o número de observações.

Passo 9

Com o valor de F calculado, comparamos com o valor crítico da distribuição F para o nível de significância de 5% e os graus de liberdade correspondentes. Se $ F $ calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos $ H_0 $ e concluímos que o modelo é adequado.

Passo 10

Após os cálculos, se o teste indicar que o modelo é significativo, podemos afirmar que a regressão linear é adequada para prever os custos de produção com base no número de unidades produzidas.

Resposta

Após realizar todos os cálculos e o teste F, concluímos que, ao nível de 5% de significância, o modelo de regressão linear é adequado para esse conjunto de dados.

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