Uma indústria que produz camisetas tem a seguinte função de produção:
, em que L e o número de funcionários empregados por semana e K é o número de máquinas utilizadas por semana. O custo de uma unidade de trabalho (
) é de
400
\mathrm{w}_{2}
$1.600
$ 16$.
Passo 1
O enunciado dá uma função de produção Cobb–Douglas
onde
é o número de funcionários e
o número de máquinas por semana. Os preços dos insumos são
(por unidade de trabalho) e
(por máquina). Queremos minimizar o custo total
sujeito à produção fixa de
camisetas. O objetivo é encontrar o custo médio mínimo
.
Passo 2
Para resolver o problema de minimização de custo com restrição de produção, usamos a condição de eficiência de alocação dada pelo igualamento da taxa marginal de substituição técnica ao preço relativo dos fatores. Primeiro calculamos os produtos marginais:
Passo 3
A condição de ótimo exige
Substituindo:
Logo
Passo 4
Impondo a restrição de produção
, substituímos
na função de produção:
Daí
Passo 5
Com
e
, o custo total mínimo é
O custo médio é
Resposta
O custo total médio mínimo de produção de
camisetas por semana é
por camisa.