Uma indústria que produz camisetas tem a seguinte função de produção: , em que L e o número de funcionários empregados por semana e K é o número de máquinas utilizadas por semana. O custo de uma unidade de trabalho ( ) é de 400 á\mathrm{w}_{2} é$1.600 éíçãé$ 16$.

Passo 1

O enunciado dá uma função de produção Cobb–Douglas
y = 100,L^0,5K^0,5
onde L é o número de funcionários e K o número de máquinas por semana. Os preços dos insumos são ,w1=400 (por unidade de trabalho) e ,w2=1600 (por máquina). Queremos minimizar o custo total
C = w1L + w2K
sujeito à produção fixa de y=100,000 camisetas. O objetivo é encontrar o custo médio mínimo C/y.

Passo 2

Para resolver o problema de minimização de custo com restrição de produção, usamos a condição de eficiência de alocação dada pelo igualamento da taxa marginal de substituição técnica ao preço relativo dos fatores. Primeiro calculamos os produtos marginais:
MPL = partialpartial Ll(100,L^0,5K^0,5r) = 50,L^-0,5K^0,5,
MPK = partialpartial Kl(100,L^0,5K^0,5r) = 50,L^0,5K^-0,5

Passo 3

A condição de ótimo exige
MRTSL,K = MPLMPK = w1w2
Substituindo:
50,L^-0,5K^0,550,L^0,5K^-0,5 = KL e w1w2 = 4001600 = 14
Logo
KL = 14 Longrightarrow K = L4

Passo 4

Impondo a restrição de produção y=100,000, substituímos K=L/4 na função de produção:
100,000 = 100,L^0,5l(tfracL4r)^0,5 = 100,l(LcdottfracL4r)^0,5 = 100,L2 = 50,L
Daí
L = 100,00050 = 2,000, K = 2,0004 = 500

Passo 5

Com L=2000 e K=500, o custo total mínimo é
C = 400cdot2000 + 1600cdot500 = 800,000 + 800,000 = 1,600,000
O custo médio é
Cy = 1,600,000100,000 = 16

Resposta

O custo total médio mínimo de produção de 100,000 camisetas por semana é $16 por camisa.

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