Uma indústria que produz camisetas tem a seguinte função de produção: , em que L e o número de funcionários empregados por semana e K é o número de máquinas utilizadas por semana. O custo de uma unidade de trabalho ( ) é de 400 á\mathrm{w}{2} é$1.600 çãóçãçãy=100 \mathrm{L}^{0.5} \mathrm{K}^{0,7} ã\mathrm{W}{1} $ 800$ por semana. Diante deste novo cenário, o custo total médio mínimo será menor do que antes.

Passo 1

O enunciado trata de minimização de custos para duas funções de produção do tipo Cobb–Douglas antes e depois de uma inovação. Precisamos usar teoria de custo de curto prazo (minimização de C = w1L + w2K sujeita a y = f(L,K)) e obter a função de custo c(w1,w2,y). Em seguida calculamos o custo médio AC = c/y nos dois cenários e comparamos o valor mínimo de cada um.

Passo 2

Antes da inovação temos
y = 100,L^0.5K^0.5, w1=400, w2=1600
Para Cobb–Douglas com retornos constantes ( alpha=0.5, 1-alpha=0.5, A=100) a função de custo é
c(w1,w2,y) =w1^alpha,w2^1-alphaA,alpha^alpha(1-alpha)^1-alpha;y
Logo o custo médio (por unidade de y) é
AC1 =cy =raizw1w2100,(0.5)^0.5(0.5)^0.5 =raiz400cdot1600100cdot0.5 =80050 =16

Passo 3

Após a inovação:
y = 100,L^0.5K^0.7, w1=800, w2=1600
Agora alpha=0.5, beta=0.7 e n=alpha+beta=1.2>1. A função de custo genérica para Cobb–Douglas com somatório dos expoentes nneq1 é
c(w1,w2,y) =w1^beta,w2^alphaA^1/n,alpha^alpha,beta^beta;y^1/n
O custo médio então é
AC2(y) =cy =w1^beta,w2^alphaA^1/n,alpha^alpha,beta^beta; y^tfrac1n-1,
e como tfrac1n-1<0 (ex.: 1/1.2-1approx-0.1667), o custo médio cai à medida que y aumenta. Não há mínimo finito: à medida que ytoinfty, AC2(y)to0.

Passo 4

Comparando os dois cenários, antes tínhamos AC1=16 constante em qualquer escala. Após a inovação, graças aos retornos crescentes de escala e mesmo com w1 duplicado, o custo médio pode ser reduzido arbitrariamente pela expansão da produção, tendendo a zero. Portanto o custo total médio mínimo no novo cenário é menor do que antes.

Resposta

Sim, o custo total médio mínimo será menor do que antes.

Exercícios relacionados