Uma indústria que produz camisetas tem a seguinte função de produção:
, em que L e o número de funcionários empregados por semana e K é o número de máquinas utilizadas por semana. O custo de uma unidade de trabalho (
) é de
400
\mathrm{w}{2}
$1.600
y=100 \mathrm{L}^{0.5} \mathrm{K}^{0,7}
\mathrm{W}{1}
$ 800$ por semana. Diante deste novo cenário, o custo total médio mínimo será menor do que antes.
Passo 1
O enunciado trata de minimização de custos para duas funções de produção do tipo Cobb–Douglas antes e depois de uma inovação. Precisamos usar teoria de custo de curto prazo (minimização de
sujeita a
) e obter a função de custo
. Em seguida calculamos o custo médio
nos dois cenários e comparamos o valor mínimo de cada um.
Passo 2
Antes da inovação temos
Para Cobb–Douglas com retornos constantes (
,
,
) a função de custo é
Logo o custo médio (por unidade de
) é
Passo 3
Após a inovação:
Agora
,
e
. A função de custo genérica para Cobb–Douglas com somatório dos expoentes
é
O custo médio então é
e como
(ex.:
), o custo médio cai à medida que
aumenta. Não há mínimo finito: à medida que
,
.
Passo 4
Comparando os dois cenários, antes tínhamos
constante em qualquer escala. Após a inovação, graças aos retornos crescentes de escala e mesmo com
duplicado, o custo médio pode ser reduzido arbitrariamente pela expansão da produção, tendendo a zero. Portanto o custo total médio mínimo no novo cenário é menor do que antes.
Resposta
Sim, o custo total médio mínimo será menor do que antes.