Em uma linha de produção, defeitos ocorrem aleatoriamente ao longo do comprimento de um material contínuo. Sabe-se que, em média, ocorrem 2 defeitos por metro.
(a) Qual é a probabilidade de que um metro desse material contenha ao menos 5 defeitos?
(b) Qual o número de defeitos esperado em um centímetro desse material?
(c) Qual a probabilidade de haverem no máximo três defeitos em um centímetro desse material?
(a) Qual é a probabilidade de que um metro desse material contenha ao menos 5 defeitos?
(b) Qual o número de defeitos esperado em um centímetro desse material?
(c) Qual a probabilidade de haverem no máximo três defeitos em um centímetro desse material?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação dada:
- A ocorrência de defeitos ao longo do material é aleatória e, em média, ocorrem
defeitos por metro.
- A ocorrência de defeitos ao longo do material é aleatória e, em média, ocorrem
- Perguntas:
- (a) Qual é a probabilidade de que um metro desse material contenha ao menos
defeitos? - (b) Qual o número de defeitos esperado em um centímetro desse material?
- (c) Qual a probabilidade de haverem no máximo três defeitos em um centímetro desse material?
- (a) Qual é a probabilidade de que um metro desse material contenha ao menos
Passo 2
Modelo e fórmulas que vamos usar (explicação didática e intuitiva).
- Quando eventos (aqui, defeitos) ocorrem ao longo de uma linha contínua de forma aleatória e independente com uma taxa média constante por unidade de comprimento, o número de eventos em um trecho de comprimento fixo segue a distribuição de Poisson. Isso é o modelo natural para “contagem de ocorrências raras” ao longo de comprimento/tempo.
- Parâmetro da Poisson:
- Seja
a taxa média por unidade de comprimento (aqui defeitos por metro). - Para um trecho de comprimento
(em metros), o parâmetro médio da Poisson é . Ou seja, o número de defeitos em comprimento tem distribuição .
- Seja
- Função de massa de probabilidade (PMF) da Poisson:
Onde: -
é a variável aleatória “número de defeitos” no trecho considerado, -
é a média (esperança) do número de defeitos no trecho (ou seja, ).
-
- Esperança (valor esperado) da Poisson:
Explicação intuitiva: dobrando o comprimento, dobra-se a média de defeitos; a média escala linearmente com o comprimento.
Agora aplicamos isso às três perguntas específicas.
Passo 3
Resolvendo (a): probabilidade de que um metro contenha ao menos
defeitos.
- Para
metro temos . Então . - A probabilidade pedida é
. É mais prático calcular o complementar: - Escrevendo os termos:
Vamos calcular os termos (mostrando passo a passo).
- Agora somamos esses cinco termos:
Então
- Usando
: (Observação: esse valor é igual ao somatório numérico efetuado termo a termo; alternativa foi somar os termos individuais que encontramos antes.) - Portanto
Atenção: revisei a soma dos coeficientes acima: notei um erro aritmético na soma direta anterior do raciocínio; para garantir clareza, recalculamos termo a termo numericamente abaixo (passo explícito): -
. -
. -
. -
. -
.
Somando esses:
Portanto Conclusão numérica correta: .
(A discrepância anterior veio de somar coeficientes de forma incorreta; o procedimento termo a termo e o resultado final acima são os corretos.) -
Passo 4
Resolvendo (b): número esperado de defeitos em um centímetro.
- Um centímetro é
cm = m, ou seja metro. - A taxa por metro é
defeitos/metro, então o parâmetro médio para é - Pela propriedade da Poisson, o valor esperado é
. Logo o número de defeitos esperado em cm é (Interpretação: em média, espera-se defeitos por cm, então por cm espera-se defeitos.)
Passo 5
Resolvendo (c): probabilidade de haverem no máximo três defeitos em um centímetro.
- Para
m já temos (do Passo 4). Então . - Queremos
. - Calculando termo a termo (com aproximações numéricas controladas):
-
. -
-
-
-
-
- Somando:
- Interpretação prática: a probabilidade de ter no máximo
defeitos em cm é praticamente , porque a média esperada é muito pequena ( ). A probabilidade de ter ou mais defeitos em cm é virtualmente zero (ordem de ou menor).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)