Em uma linha de produção, defeitos ocorrem aleatoriamente ao longo do comprimento de um material contínuo. Sabe-se que, em média, ocorrem 2 defeitos por metro.
(a) Qual é a probabilidade de que um metro desse material contenha ao menos 5 defeitos?
(b) Qual o número de defeitos esperado em um centímetro desse material?
(c) Qual a probabilidade de haverem no máximo três defeitos em um centímetro desse material?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação dada:
    • A ocorrência de defeitos ao longo do material é aleatória e, em média, ocorrem 2 defeitos por metro.
  • Perguntas:
    • (a) Qual é a probabilidade de que um metro desse material contenha ao menos 5 defeitos?
    • (b) Qual o número de defeitos esperado em um centímetro desse material?
    • (c) Qual a probabilidade de haverem no máximo três defeitos em um centímetro desse material?

Passo 2

Modelo e fórmulas que vamos usar (explicação didática e intuitiva).
  • Quando eventos (aqui, defeitos) ocorrem ao longo de uma linha contínua de forma aleatória e independente com uma taxa média constante por unidade de comprimento, o número de eventos em um trecho de comprimento fixo segue a distribuição de Poisson. Isso é o modelo natural para “contagem de ocorrências raras” ao longo de comprimento/tempo.
  • Parâmetro da Poisson:
    • Seja \lambda a taxa média por unidade de comprimento (aqui \lambda=2 defeitos por metro).
    • Para um trecho de comprimento L (em metros), o parâmetro médio da Poisson é \mu=\lambda L. Ou seja, o número de defeitos em comprimento L tem distribuição \text{Poisson}(\mu).
  • Função de massa de probabilidade (PMF) da Poisson: P(N=k)=e^{-\mu}\,\frac{\mu^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dotsOnde:
    • N é a variável aleatória “número de defeitos” no trecho considerado,
    • \mu é a média (esperança) do número de defeitos no trecho (ou seja, \mu=E[N]).
  • Esperança (valor esperado) da Poisson: E[N]=\mu.Explicação intuitiva: dobrando o comprimento, dobra-se a média de defeitos; a média escala linearmente com o comprimento.
Agora aplicamos isso às três perguntas específicas.

Passo 3

Resolvendo (a): probabilidade de que um metro contenha ao menos 5 defeitos.
  • Para L=1 metro temos \mu=\lambda L=2\cdot 1=2. Então N\sim\text{Poisson}(\mu=2).
  • A probabilidade pedida é P(N\ge 5). É mais prático calcular o complementar: P(N\ge 5)=1-P(N\le 4)=1-\sum_{k=0}^{4}P(N=k).
  • Escrevendo os termos: P(N=k)=e^{-2}\frac{2^{k}}{k!}.Vamos calcular os termos k=0,1,2,3,4 (mostrando passo a passo). P(N=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}.
P(N=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=2e^{-2}.
P(N=2)=e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}=2e^{-2}.
P(N=3)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}=\frac{8}{6}e^{-2}=\frac{4}{3}e^{-2}.
P(N=4)=e^{-2}\frac{2^{4}}{4!}=\frac{16}{24}e^{-2}=\frac{2}{3}e^{-2}.
  • Agora somamos esses cinco termos: \sum_{k=0}^{4}P(N=k)=\Big(1+2+2+\tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{3}\Big)e^{-2} =\Big(1+2+2+1{,}333333\ldots+0{,}666666\ldots\Big)e^{-2}.
=\;6{,}0\;e^{-2}\quad\text{(note que }1+2+2+\tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{3}=6\text{)}.
Então
\sum_{k=0}^{4}P(N=k)=6e^{-2}.
  • Usando e^{-2}\approx 0{,}1353352833: \sum_{k=0}^{4}P(N=k)\approx 6\cdot 0{,}1353352833\approx 0{,}8120116998.(Observação: esse valor é igual ao somatório numérico efetuado termo a termo; alternativa foi somar os termos individuais que encontramos antes.)
  • Portanto P(N\ge5)=1-6e^{-2}\approx 1-0{,}8120116998\approx 0{,}1879883002.Atenção: revisei a soma dos coeficientes acima: notei um erro aritmético na soma direta anterior do raciocínio; para garantir clareza, recalculamos termo a termo numericamente abaixo (passo explícito):
    • P(N=0)=e^{-2}\approx 0{,}1353352833.
    • P(N=1)=2e^{-2}\approx 0{,}2706705666.
    • P(N=2)=2e^{-2}\approx 0{,}2706705666.
    • P(N=3)=\tfrac{4}{3}e^{-2}\approx 0{,}1804470444.
    • P(N=4)=\tfrac{2}{3}e^{-2}\approx 0{,}0902235222.
      Somando esses:
    0{,}1353352833+0{,}2706705666+0{,}2706705666+0{,}1804470444+0{,}0902235222\approx 0{,}947347.Portanto P(N\ge5)=1-0{,}947347\approx 0{,}052653.Conclusão numérica correta: P(N\ge5)\approx 0{,}05265.
    (A discrepância anterior veio de somar coeficientes de forma incorreta; o procedimento termo a termo e o resultado final acima são os corretos.)

Passo 4

Resolvendo (b): número esperado de defeitos em um centímetro.
  • Um centímetro é 1 cm = 0{,}01 m, ou seja L=\tfrac{1}{100} metro.
  • A taxa por metro é \lambda=2 defeitos/metro, então o parâmetro médio para L é \mu=\lambda L=2\cdot \frac{1}{100}=0{,}02.
  • Pela propriedade da Poisson, o valor esperado é E[N]=\mu. Logo o número de defeitos esperado em 1 cm é E[N]=0{,}02.(Interpretação: em média, espera-se 2 defeitos por 100 cm, então por 1 cm espera-se 2/100=0{,}02 defeitos.)

Passo 5

Resolvendo (c): probabilidade de haverem no máximo três defeitos em um centímetro.
  • Para L=0{,}01 m já temos \mu=0{,}02 (do Passo 4). Então N\sim\text{Poisson}(\mu=0{,}02).
  • Queremos P(N\le 3)=\sum_{k=0}^{3}e^{-0{,}02}\frac{(0{,}02)^{k}}{k!}.
  • Calculando termo a termo (com aproximações numéricas controladas):
    • e^{-0{,}02}\approx 0{,}9801986733.
    • P(N=0)=e^{-0{,}02}\approx 0{,}9801986733.
    • P(N=1)=e^{-0{,}02}\frac{0{,}02}{1}\approx 0{,}0196039735.
    • P(N=2)=e^{-0{,}02}\frac{(0{,}02)^{2}}{2}\approx 0{,}0001960397.
    • P(N=3)=e^{-0{,}02}\frac{(0{,}02)^{3}}{6}\approx 0{,}0000013069.
  • Somando: P(N\le3)\approx 0{,}9801986733+0{,}0196039735+0{,}0001960397+0{,}0000013069\approx 0{,}9999999934.
  • Interpretação prática: a probabilidade de ter no máximo 3 defeitos em 1 cm é praticamente 1, porque a média esperada é muito pequena ( 0{,}02). A probabilidade de ter 4 ou mais defeitos em 1 cm é virtualmente zero (ordem de 10^{-9} ou menor).

Resposta

(a) 0,05265
(b) 0,02
(c) 0,9999999934

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