Em uma indústria que produz parafusos sabe-se que há uma probabilidade de 0,05 que um parafuso selecionado aleatoriamente seja defeituoso. Considere que:
(c) Um lote de 100 parafusos é selecionado aleatoriamente, uma amostra de 10 parafusos deste lote é retirada sem repor. Qual a probabilidade de haverem ao menos dois parafusos defeituosos na amostra?

Passo 1

O enunciado e os dados importantes (colhidos do texto do problema) são:
  • A probabilidade de um parafuso selecionado aleatoriamente ser defeituoso é 0,05.
  • Um lote com 100 parafusos é escolhido e, desse lote, é retirada uma amostra de 10 parafusos sem reposição.
  • Pergunta: qual a probabilidade de haverem ao menos dois parafusos defeituosos na amostra de 10?

Passo 2

Modelagem escolhida (explicação didática e por que é válida):
  • Cada parafuso tem probabilidade 0,05 de ser defeituoso; isso significa que, antes de olhar para o lote, cada unidade é 1 com probabilidade p=0,05 (defeito) e 0 com probabilidade 1-p=0,95 (não defeito).
  • Quando as posições dos parafusos são trocadas aleatoriamente (itens são indistinguíveis exceto por defeito), a distribuição marginal do número de defeituosos em uma amostra de tamanho n=10 é a distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,05. Em palavras: a probabilidade de exatamente k defeituosos na amostra é dada por
\Pr(X=k)=\binom{10}{k}p^{k}(1-p)^{10-k},
onde p=0,05, n=10 e \binom{10}{k} é o número de maneiras de escolher k itens dentre 10.
  • Observação didática rápida: embora a amostra seja sem reposição, se modelamos cada parafuso como tendo, a priori, Bernoulli independente com mesma p, a distribuição marginal do número de defeituosos na amostra é binomial. Isso é simples e prática para a prova. (Alternativa: se supuséssemos que o lote tem exatamente D defeituosos fixos, usaríamos a hipergeométrica; mas o enunciado dá p, não dá D, portanto o modelo binomial é o natural aqui.)

Passo 3

Transformar a pergunta em fórmula e usar complementar (estratégia):
  • Queremos \Pr(X\ge 2). É mais fácil usar o complementar:
\Pr(X\ge 2)=1-\Pr(X=0)-\Pr(X=1).

Passo 4

Calcular \Pr(X=0):
  • Usando a fórmula binomial com k=0:
\Pr(X=0)=\binom{10}{0}p^{0}(1-p)^{10}=(1-p)^{10}=0{,}95^{10}.
  • Cálculo numérico (passo a passo para fazer na prova sem calculadora, usando potências):
0{,}95^{2}=0{,}9025,\quad 0{,}95^{4}=0{,}9025^{2}=0{,}81450625,
0{,}95^{8}=0{,}81450625^{2}=0{,}6634204313,
0{,}95^{10}=0{,}95^{8}\times 0{,}95^{2}=0{,}6634204313\times0{,}9025\approx0{,}5987369392.
Portanto \Pr(X=0)\approx0{,}5987369392.

Passo 5

Calcular \Pr(X=1):
  • Fórmula binomial com k=1:
\Pr(X=1)=\binom{10}{1}p(1-p)^{9}=10\cdot0{,}05\cdot0{,}95^{9}.
  • Podemos obter 0{,}95^{9} a partir de 0{,}95^{10}: 0{,}95^{9}=0{,}95^{10}/0{,}95.
  • Cálculo numérico:
0{,}95^{9}\approx\frac{0{,}5987369392}{0{,}95}\approx0{,}6302504623,
\Pr(X=1)=10\cdot0{,}05\cdot0{,}6302504623=0{,}5\cdot0{,}6302504623\approx0{,}3151252311.

Passo 6

Calcular a probabilidade solicitada \Pr(X\ge2):
\Pr(X\ge2)=1-\Pr(X=0)-\Pr(X=1)\approx1-0{,}5987369392-0{,}3151252311.
\Pr(X\ge2)\approx0{,}0861378297.
Arredondando para um número prático: \Pr(X\ge2)\approx0{,}08614, ou seja, cerca de 8{,}6\%.

Resposta

0,08614

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