Em uma indústria que produz parafusos sabe-se que há uma probabilidade de 0,05 que um parafuso selecionado aleatoriamente seja defeituoso. Considere que:
(c) Um lote de 100 parafusos é selecionado aleatoriamente, uma amostra de 10 parafusos deste lote é retirada sem repor. Qual a probabilidade de haverem ao menos dois parafusos defeituosos na amostra?
(c) Um lote de 100 parafusos é selecionado aleatoriamente, uma amostra de 10 parafusos deste lote é retirada sem repor. Qual a probabilidade de haverem ao menos dois parafusos defeituosos na amostra?
Passo 1
O enunciado e os dados importantes (colhidos do texto do problema) são:
- A probabilidade de um parafuso selecionado aleatoriamente ser defeituoso é
. - Um lote com
parafusos é escolhido e, desse lote, é retirada uma amostra de parafusos sem reposição. - Pergunta: qual a probabilidade de haverem ao menos dois parafusos defeituosos na amostra de
?
Passo 2
Modelagem escolhida (explicação didática e por que é válida):
- Cada parafuso tem probabilidade
de ser defeituoso; isso significa que, antes de olhar para o lote, cada unidade é com probabilidade (defeito) e com probabilidade (não defeito). - Quando as posições dos parafusos são trocadas aleatoriamente (itens são indistinguíveis exceto por defeito), a distribuição marginal do número de defeituosos em uma amostra de tamanho
é a distribuição binomial com parâmetros e . Em palavras: a probabilidade de exatamente defeituosos na amostra é dada por
onde
,
e
é o número de maneiras de escolher
itens dentre 10.
- Observação didática rápida: embora a amostra seja sem reposição, se modelamos cada parafuso como tendo, a priori, Bernoulli independente com mesma
, a distribuição marginal do número de defeituosos na amostra é binomial. Isso é simples e prática para a prova. (Alternativa: se supuséssemos que o lote tem exatamente defeituosos fixos, usaríamos a hipergeométrica; mas o enunciado dá , não dá , portanto o modelo binomial é o natural aqui.)
Passo 3
Transformar a pergunta em fórmula e usar complementar (estratégia):
- Queremos
. É mais fácil usar o complementar:
Passo 4
Calcular
:
- Usando a fórmula binomial com
:
- Cálculo numérico (passo a passo para fazer na prova sem calculadora, usando potências):
Portanto
.
Passo 5
Calcular
:
- Fórmula binomial com
:
- Podemos obter
a partir de : . - Cálculo numérico:
Passo 6
Calcular a probabilidade solicitada
:
Arredondando para um número prático:
, ou seja, cerca de
.