Questão 6: Aplicações
© Em um circuito em série contendo um resistor, um capacitor e um indutor, a carga
no capacitor pode ser descrita pela seguinte equação:
em que
e
são constantes conhecidas como indutância, resistência e capacitância, respectivamente, e
é a tensão elétrica do circuito.
Uma bateria de 10 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é 0,25 henry, a resistência é 1 ohm e a capacitância é 0,1 farad. Determine a carga
no capacitor se ele está inicialmente descarregado e a corrente inicial é
amperes.
© Em um circuito em série contendo um resistor, um capacitor e um indutor, a carga
Uma bateria de 10 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é 0,25 henry, a resistência é 1 ohm e a capacitância é 0,1 farad. Determine a carga
Passo 1
O enunciado descreve um circuito RLC em série onde a carga no capacitor satisfaz a equação
com as condições iniciais
(capacitor descarregado) e
(corrente inicial de 8 A). Vamos resolver essa ODE de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro achamos a solução homogênea. Escrevemos a equação característica associada:
Multiplicando por 4:
Suas raízes são
Como são complexas
, a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular. Como o lado direito é constante (10), tentamos
. Substituindo na ODE:
Então
Passo 4
A solução geral é a soma:
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de
. Derivando:
Em
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a carga no capacitor: