Questão 6: Aplicações
© Em um circuito em série contendo um resistor, um capacitor e um indutor, a carga q(t) no capacitor pode ser descrita pela seguinte equação:
L d^2 qd t^2+R d qd t+1C q=E(t)
em que L, R e C são constantes conhecidas como indutância, resistência e capacitância, respectivamente, e E(t) é a tensão elétrica do circuito.
Uma bateria de 10 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é 0,25 henry, a resistência é 1 ohm e a capacitância é 0,1 farad. Determine a carga q(t) no capacitor se ele está inicialmente descarregado e a corrente inicial é i(0)=q^prime(0)=8 amperes.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RLC em série onde a carga no capacitor satisfaz a equação
0,25,q''(t) + 1,q'(t) + 10,q(t) = 10,
com as condições iniciais q(0)=0 (capacitor descarregado) e q'(0)=8 (corrente inicial de 8 A). Vamos resolver essa ODE de 2ª ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea. Escrevemos a equação característica associada:
0,25,r^2 + 1,r + 10 = 0
Multiplicando por 4:
r^2 + 4r + 40 = 0
Suas raízes são
r = -4 pm raiz16 - 1602 = -2 pm 6,i
Como são complexas (-2pm6i), a solução homogênea é
qh(t) = e^-2tl(Acos(6t) + Bsin(6t)r)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular. Como o lado direito é constante (10), tentamos qp = Q0. Substituindo na ODE:
0,25cdot0 + 1cdot0 + 10,Q0 = 10 implies Q0 = 1
Então
qp(t) = 1

Passo 4

A solução geral é a soma:
q(t) = qh(t) + qp(t) = 1 + e^-2tl(Acos(6t) + Bsin(6t)r)
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de q'(t). Derivando:
q'(t) = e^-2tl((-2A+6B)cos(6t) + (-2B -6A)sin(6t)r)
Em t=0:
q(0)=0 = 1 + A implies A = -1,
q'(0)=8 = (-2A + 6B) = -2(-1) +6B = 2 +6B implies B = 1

Passo 5

Substituindo A=-1 e B=1 na solução geral, obtemos a carga no capacitor:
q(t) = 1 + e^-2tl(-cos(6t) + sin(6t)r)

Resposta

q(t) = 1 + e^-2tl(-cos(6t) + sin(6t)r).

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