Uma partícula de massa m move-se ao longo do eixo x sob a ação de um campo de forças unidimensional conservativo, descrito pelo potencial U(x)=U_{0}\left[(x / a)^{4}-2(x / a)^{2}\right], em que U_{0}> 0 e a > 0 são constantes reais.
A partícula é lançada a partir da posição \mathrm{x}=0 \mathrm{com} velocidade inicial \mathrm{v}_{0}, em um sistema isolado, sem forças dissipativas.
Considere valores de \mathrm{v}_{0} tais que o movimento seja limitado e que a partícula execute oscilações de pequena amplitude em torno de um dos pontos de equilíbrio estável do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá um potencial unidimensional e diz que a partícula parte de x=0 com velocidade inicial v_0. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que precisamos esclarecer:
  • Potencial: U(x)=U_{0}\left[\left(\dfrac{x}{a}\right)^{4}-2\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2}\right], com U_{0}>0 e a>0.
  • Massa da partícula: m.
  • Condição inicial: partiu de x=0 com velocidade v_0, sistema isolado (energia conservada), sem dissipação.
  • O enunciado pede (implícito) estudar oscilações de pequena amplitude em torno de um ponto de equilíbrio estável; portanto é natural encontrar:
    1. os pontos de equilíbrio (valores de x tais que a força é zero),
    2. classificar sua estabilidade (estável/instável),
    3. obter a frequência angular e o período das pequenas oscilações em torno do(s) ponto(s) de equilíbrio estável,
    4. relacionar, se pertinente, a condição sobre v_0 para que o movimento fique limitado e as oscilações sejam de pequena amplitude (ou discutir se isso é possível dada a condição inicial).
      Nada será resolvido ainda — apenas organizei os dados e o que vamos buscar.

Passo 2

Transformar o potencial em força e escrever as condições de equilíbrio.
  • Força conservativa unidimensional: a força F(x) é dada por F(x) = -\dfrac{dU}{dx}. Isso vem da definição de potencial: a variação do potencial indica a força que age na partícula.
  • Calculemos \dfrac{dU}{dx}. Use que U(x)=U_0\bigl((x/a)^4-2(x/a)^2\bigr). Diferenciando em relação a x:
\frac{dU}{dx} =U_0\left(4\frac{x^3}{a^4}-4\frac{x}{a^2}\right) =4U_0\frac{x}{a^4}\left(x^2-a^2\right).
  • Portanto a força é
F(x)=-\frac{dU}{dx}=-4U_0\frac{x}{a^4}\left(x^2-a^2\right).

Passo 3

Determinar os pontos de equilíbrio (onde F(x)=0, equivalentemente \dfrac{dU}{dx}=0).
  • Da expressão \dfrac{dU}{dx}=4U_0\frac{x}{a^4}(x^2-a^2), os zeros são dados por: x=0,\qquad x=\pm a.
  • Portanto os pontos de equilíbrio são \,x=0 e \,x=\pm a.

Passo 4

Classificar estabilidade usando a segunda derivada de U (teste do mínimo/máximo).
  • Regra: num ponto de equilíbrio x_{eq}, se U''(x_{eq})>0 então é mínimo local (estável); se U''(x_{eq})<0 então é máximo local (instável).
  • Calcule U''(x) derivando \dfrac{dU}{dx}:
\frac{d^2U}{dx^2}=4U_0\frac{1}{a^4}\left(3x^2-a^2\right).
  • Avaliando nos pontos:
    • Em x=0:
    U''(0)=4U_0\frac{1}{a^4}\left(3\cdot0^2-a^2\right)=4U_0\frac{-a^2}{a^4}=-\frac{4U_0}{a^2}<0,logo x=0 é um ponto de equilíbrio instável (máximo local do potencial).
    • Em x=\pm a:
    U''(\pm a)=4U_0\frac{1}{a^4}\left(3a^2-a^2\right)=4U_0\frac{2a^2}{a^4}=\frac{8U_0}{a^2}>0,logo x=\pm a são mínimos locais do potencial e, portanto, pontos de equilíbrio estáveis.

Passo 5

Derivar a frequência das pequenas oscilações (aproximação harmônica).
  • Ideia física/matemática: perto de um mínimo x_{eq} pode-se aproximar o potencial por sua expansão de Taylor até a ordem quadrática. Isso transforma o problema num oscilador harmônico com constante elástica k = U''(x_{eq}).
  • Expandindo U(x) em torno de x_{eq}:
U(x)\approx U(x_{eq})+\frac{1}{2}U''(x_{eq})\,(x-x_{eq})^2+\text{termos de ordem superior}.
  • Para pequenas oscilações os termos de ordem superior são desprezíveis e a equação de movimento m\ddot{\xi}=-U''(x_{eq})\xi (onde \xi=x-x_{eq}) é a de um oscilador harmônico simples, com
m\ddot{\xi} + k \xi =0,\qquad k\equiv U''(x_{eq}).
  • A frequência angular natural é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{U''(x_{eq})}{m}}.
  • O período do movimento aproximado é T=\dfrac{2\pi}{\omega}.

Passo 6

Aplicar o resultado ao mínimo em x=\pm a.
  • Já calculamos U''(\pm a)=\dfrac{8U_0}{a^2}. Logo a constante efetiva k para pequenas oscilações nesses mínimos é k=8U_0/a^2.
  • Assim a frequência angular das pequenas oscilações em torno de x=\pm a é
\omega=\sqrt{\frac{8U_0}{a^{2}m}}.
  • Podemos reescrever \omega isolando fatores simples:
\omega = 2\sqrt{\frac{2U_0}{a^{2}m}}.
  • O período correspondente é
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m a^{2}}{8U_0}}=\pi\sqrt{\frac{m a^{2}}{2U_0}}.

Passo 7

Discussão didática sobre a condição inicial x=0,\;v_0 e a possibilidade real de pequenas oscilações em torno de \pm a.
  • Energia total conservada: E=\dfrac{1}{2}m v^2 + U(x). Com a condição inicial x(0)=0 temos U(0)=U_0\bigl(0-0\bigr)=0. Assim a energia inicial é
E=\frac{1}{2}m v_0^2.
  • O mínimo do potencial tem valor U(\pm a)=U_0(1-2)=-U_0. Portanto a energia relativa ao fundo do poço (energia acima do mínimo) é
E_{\text{rel}}=E-U(\pm a)=\frac{1}{2}m v_0^2 -(-U_0)=\frac{1}{2}m v_0^2 + U_0.
  • Na aproximação harmônica a energia de uma oscilação de amplitude A (medida a partir do mínimo) é aproximadamente \dfrac{1}{2}k A^2. Igualando:
\frac{1}{2}k A^2 \approx E_{\text{rel}}=\frac{1}{2}m v_0^2 + U_0.
  • Substituindo k=8U_0/a^2 obtemos a amplitude aproximada
A\approx\sqrt{\frac{2E_{\text{rel}}}{k}} =\sqrt{\frac{m v_0^2 + 2U_0}{8U_0/a^2}} =\sqrt{\frac{a^2\left(m v_0^2 + 2U_0\right)}{8U_0}}.
  • Observação importante (e prática na hora da prova): mesmo se v_0=0 (partir do topo sem velocidade inicial), a amplitude mínima resultante ao cair no poço é
A_{\min}= \sqrt{\frac{a^2(0+2U_0)}{8U_0}}=\frac{a}{2}.
Isto mostra que, começando em x=0 e sem dissipação, a partícula terminará oscilando em torno de um dos mínimos com amplitude pelo menos a/2. Portanto, oscilações “pequenas” (no sentido A\ll a) NÃO são obtidas a partir de x=0 num sistema isolado; para obter oscilações de amplitude muito pequena a condição inicial deve ser escolhida próxima do mínimo x=\pm a, não a partir do topo x=0.
  • Conclusão prática: as fórmulas harmônicas para \omega valem para pequenas amplitudes A\ll a. Se a partícula parte de x=0 sem dissipação, a menor amplitude possível é a/2, então a aproximação de pequenas oscilações só será quantitativamente boa se a/2 já for considerado “pequeno” em relação a a (o que não é o caso). Portanto, para aplicar a aproximação harmônica sem conflito, deve-se iniciar próximo ao mínimo.

Resposta

Pontos de equilíbrio: x=0 e x=\pm a.\n
Classificação: x=0 é instável (máximo do potencial); x=\pm a são estáveis (mínimos do potencial).\n
Frequência angular das pequenas oscilações em torno de x=\pm a: \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{8U_0}{a^{2}m}}=2\sqrt{\frac{2U_0}{a^{2}m}}.\n
Período correspondente: \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m a^{2}}{8U_0}}=\pi\sqrt{\frac{m a^{2}}{2U_0}}.\n
Comentário sobre v_0: partindo de x=0 numa evolução isolada, a energia inicial é E=\tfrac{1}{2}m v_0^2 e a amplitude mínima da oscilação ao cair num dos poços é A_{\min}=a/2; portanto oscilações realmente “pequenas” ( A\ll a) não são obtidas a partir de x=0 sem dissipação — para pequenas oscilações a condição inicial deve estar próxima de x=\pm a.

Exercícios relacionados