Uma partícula de massa m move-se ao longo do eixo x sob a ação de um campo de forças unidimensional conservativo, descrito pelo potencial
, em que
0 e a > 0 são constantes reais.
A partícula é lançada a partir da posição
velocidade inicial
, em um sistema isolado, sem forças dissipativas.
Considere valores de
tais que o movimento seja limitado e que a partícula execute oscilações de pequena amplitude em torno de um dos pontos de equilíbrio estável do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá um potencial unidimensional e diz que a partícula parte de
com velocidade inicial
. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que precisamos esclarecer:
- Potencial:
, com e . - Massa da partícula:
. - Condição inicial: partiu de
com velocidade , sistema isolado (energia conservada), sem dissipação. - O enunciado pede (implícito) estudar oscilações de pequena amplitude em torno de um ponto de equilíbrio estável; portanto é natural encontrar:
- os pontos de equilíbrio (valores de
tais que a força é zero), - classificar sua estabilidade (estável/instável),
- obter a frequência angular e o período das pequenas oscilações em torno do(s) ponto(s) de equilíbrio estável,
- relacionar, se pertinente, a condição sobre
para que o movimento fique limitado e as oscilações sejam de pequena amplitude (ou discutir se isso é possível dada a condição inicial).
Nada será resolvido ainda — apenas organizei os dados e o que vamos buscar.
- os pontos de equilíbrio (valores de
Passo 2
Transformar o potencial em força e escrever as condições de equilíbrio.
- Força conservativa unidimensional: a força
é dada por . Isso vem da definição de potencial: a variação do potencial indica a força que age na partícula. - Calculemos
. Use que . Diferenciando em relação a :
- Portanto a força é
Passo 3
Determinar os pontos de equilíbrio (onde
, equivalentemente
).
- Da expressão
, os zeros são dados por: - Portanto os pontos de equilíbrio são
e .
Passo 4
Classificar estabilidade usando a segunda derivada de
(teste do mínimo/máximo).
- Regra: num ponto de equilíbrio
, se então é mínimo local (estável); se então é máximo local (instável). - Calcule
derivando :
- Avaliando nos pontos:
- Em
:
logo é um ponto de equilíbrio instável (máximo local do potencial). - Em
:
logo são mínimos locais do potencial e, portanto, pontos de equilíbrio estáveis. - Em
Passo 5
Derivar a frequência das pequenas oscilações (aproximação harmônica).
- Ideia física/matemática: perto de um mínimo
pode-se aproximar o potencial por sua expansão de Taylor até a ordem quadrática. Isso transforma o problema num oscilador harmônico com constante elástica . - Expandindo
em torno de :
- Para pequenas oscilações os termos de ordem superior são desprezíveis e a equação de movimento
(onde ) é a de um oscilador harmônico simples, com
- A frequência angular natural é
- O período do movimento aproximado é
.
Passo 6
Aplicar o resultado ao mínimo em
.
- Já calculamos
. Logo a constante efetiva para pequenas oscilações nesses mínimos é . - Assim a frequência angular das pequenas oscilações em torno de
é
- Podemos reescrever
isolando fatores simples:
- O período correspondente é
Passo 7
Discussão didática sobre a condição inicial
e a possibilidade real de pequenas oscilações em torno de
.
- Energia total conservada:
. Com a condição inicial temos . Assim a energia inicial é
- O mínimo do potencial tem valor
. Portanto a energia relativa ao fundo do poço (energia acima do mínimo) é
- Na aproximação harmônica a energia de uma oscilação de amplitude
(medida a partir do mínimo) é aproximadamente . Igualando:
- Substituindo
obtemos a amplitude aproximada
- Observação importante (e prática na hora da prova): mesmo se
(partir do topo sem velocidade inicial), a amplitude mínima resultante ao cair no poço é
Isto mostra que, começando em
e sem dissipação, a partícula terminará oscilando em torno de um dos mínimos com amplitude pelo menos
. Portanto, oscilações “pequenas” (no sentido
) NÃO são obtidas a partir de
num sistema isolado; para obter oscilações de amplitude muito pequena a condição inicial deve ser escolhida próxima do mínimo
, não a partir do topo
.
- Conclusão prática: as fórmulas harmônicas para
valem para pequenas amplitudes . Se a partícula parte de sem dissipação, a menor amplitude possível é , então a aproximação de pequenas oscilações só será quantitativamente boa se já for considerado “pequeno” em relação a (o que não é o caso). Portanto, para aplicar a aproximação harmônica sem conflito, deve-se iniciar próximo ao mínimo.
Resposta
Pontos de equilíbrio:
e
.\n
Classificação: é instável (máximo do potencial);
são estáveis (mínimos do potencial).\n
Frequência angular das pequenas oscilações em torno de :
\n
Período correspondente: \n
Comentário sobre : partindo de
numa evolução isolada, a energia inicial é
e a amplitude mínima da oscilação ao cair num dos poços é
; portanto oscilações realmente “pequenas” (
) não são obtidas a partir de
sem dissipação — para pequenas oscilações a condição inicial deve estar próxima de
.
Classificação:
Frequência angular das pequenas oscilações em torno de
Período correspondente:
Comentário sobre