Na indústria têxtil são utilizados vários etapas durante o processo produtivo. O ajuste de pH é uma etapa fundamental para garantir a aderência dos diversos tipos de corantes aos tecidos. Considere um tanque cilíndrico de diâmetro 1,6 \mathrm{~m} e altura 2,0 \mathrm{~m} que contem uma solução de ácido acético com \mathrm{pH}=3,20. Calcule o volume ( L ) de HCl 180,0 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1} que deverá ser adicionado a toda a solução contida no tanque para se obter \mathrm{pH}=2,60.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado).
  • Tanque cilíndrico com diâmetro 1,6\\ \mathrm{m} e altura 2,0\\ \mathrm{m}.
  • Solução de ácido acético no tanque com \mathrm{pH}=3,20 (estado inicial).
  • Queremos obter \mathrm{pH}=2,60 (estado final) adicionando solução de HCl cujo teor é 180,0\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
  • Pedem o volume (em litros) dessa solução de HCl que deve ser adicionada a toda a solução do tanque.
Constantes que vou usar (valores padrão):
  • Massa molar do HCl: M(\mathrm{HCl})=36,46\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Constante de ionização do ácido acético: K_a(\mathrm{CH_3COOH})=1,8\times10^{-5} (valor usualmente adotado).

Passo 2

Primeiro calculo o volume da solução contida no tanque (convertendo depois para litros). O volume de um cilindro é \pi r^2 h. O raio r é metade do diâmetro:
r=\frac{1,6}{2}=0,8\\ \mathrm{m}.
Portanto o volume em metros cúbicos é
V_{\text{m}^3}=\pi r^2 h=\pi\cdot(0,8)^2\cdot2,0=\pi\cdot1,28=1,28\pi\\ \mathrm{m^3}.
Convertendo para litros ( 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}):
V_i = 1000\cdot1,28\pi = 1280\pi\\ \mathrm{L}\approx 4021,238596\\ \mathrm{L}.

Passo 3

Calculo a concentração de \mathrm{H^+} inicial usando \mathrm{[H^+]}=10^{-\mathrm{pH}}:
\mathrm{[H^+]}_i=10^{-3,20}=0{,}0006309573\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Em uma solução de ácido acético, cada íon \mathrm{A^-} gerado dá um \mathrm{H^+}, então a concentração inicial de acetato é aproximadamente
\mathrm{[A^-]}_i=\mathrm{[H^+]}_i=0{,}0006309573\\ \mathrm{M}.
Usando a constante de ionização \,K_a=\dfrac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}\, podemos obter a concentração de ácido acético não dissociado [\mathrm{HA}]_i. Como [\mathrm{A^-}]_i=[\mathrm{H^+}]_i,
[\mathrm{HA}]_i=\frac{[\mathrm{H^+}]_i^2}{K_a}.
Substituindo números:
[\mathrm{HA}]_i=\frac{(0{,}0006309573)^2}{1{,}8\times10^{-5}}=0{,}022117065\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Agora converto para número de mols no tanque (moles = concentração \times volume em L):
n_{\mathrm{A^-},i}=[\mathrm{A^-}]_i\cdot V_i=0{,}0006309573\cdot1280\pi\approx2{,}538960\\ \mathrm{mol},
n_{\mathrm{HA},i}=[\mathrm{HA}]_i\cdot V_i=0{,}022117065\cdot1280\pi\approx88{,}999000\\ \mathrm{mol}.
Confiro: total de espécies de ácido acético n_{\text{tot}}=n_{\mathrm{HA},i}+n_{\mathrm{A^-},i}\approx91{,}53796\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Ao adicionar HCl (ácido forte), cada mol de HCl fornece 1 mol de \mathrm{H^+} que reage quantitativamente com \mathrm{A^-} formando \mathrm{HA}. Enquanto houver \mathrm{A^-} presente, o sistema se comporta como um tampão, e a relação de Henderson–Hasselbalch vale:
\mathrm{pH}= \mathrm{p}K_a + \log\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}.
Aqui é mais prático trabalhar em números de mols porque o volume final cancela na razão. Seja n o número de mols de HCl a adicionar. Depois da adição (e reação), teremos
n_{\mathrm{A^-},f}=n_{\mathrm{A^-},i}-n, \qquad n_{\mathrm{HA},f}=n_{\mathrm{HA},i}+n.
Queremos \mathrm{pH}_f=2,60. Usando \mathrm{p}K_a=-\log K_a, com K_a=1{,}8\times10^{-5} obtemos \mathrm{p}K_a\approx4{,}745 (arredondando para duas casas decimais é comum usar 4{,}76, mas vou usar o valor consistente com K_a). Aplicando Henderson–Hasselbalch:
2,60=\mathrm{p}K_a+\log\frac{n_{\mathrm{A^-},f}}{n_{\mathrm{HA},f}}.
Isolando a razão:
\frac{n_{\mathrm{A^-},f}}{n_{\mathrm{HA},f}}=10^{2,60-\mathrm{p}K_a}.
Com \mathrm{p}K_a=-\log(1{,}8\times10^{-5})\approx4{,}7447, então
10^{2,60-4,7447}=10^{-2,1447}\approx0{,}007187\\ (\text{uso do valor exato: }10^{-2,16}\text{ daria aproximação anterior; aqui sigo com cálculo direto}).çãá
Agora substituo as expressões em mols:
\frac{n_{\mathrm{A^-},i}-n}{n_{\mathrm{HA},i}+n}=10^{2,60-\mathrm{p}K_a}.
Resolvendo para n:
n_{\mathrm{A^-},i}-n = 10^{2,60-\mathrm{p}K_a}\,(n_{\mathrm{HA},i}+n),
n\,(1+10^{2,60-\mathrm{p}K_a}) = n_{\mathrm{A^-},i} - 10^{2,60-\mathrm{p}K_a}\,n_{\mathrm{HA},i},
n=\frac{n_{\mathrm{A^-},i} - 10^{2,60-\mathrm{p}K_a}\,n_{\mathrm{HA},i}}{1+10^{2,60-\mathrm{p}K_a}}.
Agora substituo os valores numéricos calculados anteriormente:
  • n_{\mathrm{A^-},i}=2{,}538960\\ \mathrm{mol}.
  • n_{\mathrm{HA},i}=88{,}999000\\ \mathrm{mol}.
  • 10^{2,60-\mathrm{p}K_a}=10^{2,60-4,7447}=10^{-2,1447}\approx0{,}007187.
Cálculo dos termos:
\text{num} = 2{,}538960 - 0{,}007187\cdot88{,}999000 \approx 2{,}538960 - 0{,}639722 \approx 1{,}899238,
\text{den} = 1 + 0{,}007187 = 1{,}007187.
Assim
n\approx\frac{1{,}899238}{1{,}007187}\approx1{,}885\\ \mathrm{mol}.
(Observação de verificação: n é menor que n_{\mathrm{A^-},i}=2{,}538960\\ \mathrm{mol}, ou seja, o tampão não foi totalmente consumido — consistente com uso da fórmula de Henderson–Hasselbalch.)

Passo 5

Agora converto os mols de HCl necessários em volume da solução comercial 180{,}0\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
Primeiro calculo a molaridade da solução de HCl:
C_{\mathrm{HCl}}=\frac{180{,}0\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}}{36{,}46\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}=\frac{180{,}0}{36{,}46}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}\approx4{,}93715\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Volume necessário V_{\text{ad}} (em litros) é
V_{\text{ad}}=\frac{n}{C_{\mathrm{HCl}}}=\frac{1{,}885}{4{,}93715}\\ \mathrm{L}\approx0{,}3818\\ \mathrm{L}.
Arredondando com sentido prático (3 algarismos significativos) obtemos
V_{\text{ad}}\approx0{,}382\\ \mathrm{L}=382\\ \mathrm{mL}.

Resposta

0,382\\ \mathrm{L}

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