Um indutor de L=100 \mathrm{mH} está conectado em série com um resistor R=400 \Omega. Se o circuito for conectado a uma bateria de 20 V , calcule:
  • (a) (0.5 ponto) A constante de tempo ( \tau ).
  • (b) (1.0 ponto) A corrente no circuito após t=20 \mathrm{~ms}.
  • (c) (1.0 ponto) A tensão no indutor em t=20 \mathrm{~ms}.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série contendo um indutor de L=100\,\mathrm{mH} e um resistor de R=400\,\Omega, ligado a uma fonte DC de 20\,\mathrm{V}. O conteúdo aqui é a resposta transitória de um circuito RL de primeira ordem, em que precisamos calcular a constante de tempo \tau, depois a corrente i(t) no instante t=20\,\mathrm{ms} e, por fim, a tensão no indutor nesse mesmo instante.

Passo 2

A constante de tempo de um circuito RL série é
\tau = \frac{L}{R}.
Substituindo L=100\,\mathrm{mH}=0,1\,\mathrm{H} e R=400\,\Omega temos
\tau = \frac{0,1}{400} = 0,00025\;\mathrm{s} = 0,25\;\mathrm{ms}.

Passo 3

A equação diferencial do circuito é
L\frac{di}{dt} + R\,i = E,
cuja solução, com i(0)=0 e E=20\,\mathrm{V}, é
i(t) = \frac{E}{R}\Bigl(1 - e^{-t/\tau}\Bigr).
Como \tfrac{E}{R}=\tfrac{20}{400}=0,05\;\mathrm{A}, em t=20\,\mathrm{ms}=0,02\,\mathrm{s} (e sabendo que t/\tau=0,02/0,00025=80) obtemos
i(20\,\mathrm{ms}) = 0,05\bigl(1 - e^{-80}\bigr)\approx 0,05\;\mathrm{A}.

Passo 4

A tensão no indutor é
v_L(t) = L\frac{di}{dt}.
Da expressão de i(t) vem
\frac{di}{dt} = \frac{E}{R\,\tau}\;e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quad v_L(t) = L\cdot\frac{E}{R\,\tau}\;e^{-t/\tau} = E\,e^{-t/\tau}.
Em t=20\,\mathrm{ms} isso vale
v_L(20\,\mathrm{ms}) = 20\,e^{-80}\approx 3{,}6\times 10^{-34}\;\mathrm{V},
praticamente zero no regime quase estacionário.

Resposta

(a) \tau = 0,25\;\mathrm{ms}
(b) i(20\,\mathrm{ms}) \approx 0,05\;\mathrm{A}
(c) v_L(20\,\mathrm{ms}) \approx 3{,}6\times 10^{-34}\;\mathrm{V}

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