(Mack-SP) Os valores de x real que satisfazem a inequação (0,5)^{x^{2}} \geq(0,25)^{2 x} são:
a) 0 \leq x \leq 4
b) x \leq 0 ou x \geq 4
c) x \leq 0 ou x \geq 2
d) 0 \leq x \leq 6
e) -2 \leq x \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo potências de base menor que 1:
(0,5)^{x^{2}} \geq (0,25)^{2x}.
O conteúdo aqui é a monotonicidade da função b^{y} quando 0<b<1: nesse caso b^{A}\ge b^{B} se, e somente se, A\le B.

Passo 2

Vamos escrever tudo com a mesma base 0,5. Note que 0,25 = (0,5)^{2}, logo
(0,25)^{2x} = \bigl((0,5)^{2}\bigr)^{2x} = (0,5)^{4x}.

Passo 3

Substituindo na inequação, temos
(0,5)^{x^{2}} \ge (0,5)^{4x}.
Como 0<0,5<1, a função y\mapsto (0,5)^{y} é decrescente, então a desigualdade inverte-se ao comparar os expoentes:
x^{2} \le 4x.

Passo 4

Reescrevendo a inequação quadrática em forma padrão e fatorando:
x^{2} - 4x \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-4) \le 0.
Uma parábola com coeficiente de x^{2} positivo muda de sinal nos zeros x=0 e x=4. A condição x(x-4)\le0 equivale a 0 \le x \le 4.

Resposta

a) 0 \le x \le 4

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