Questão 3
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
A solução do problema de valor inicial
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+13 y=0, \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=-3
é
\bigcirc a. -\frac{2}{e}^{2 t} \cos 2 t
\bigcirc b. \frac{1}{2} e^{2 t} \cos 2 t
\bigcirc c. \frac{3}{2} e^{3 t} \sin 2 t
\bigcirc d. -\frac{3}{2} e^{2 t} \sin 2 t
\bigcirc e. -\frac{3}{2} e^{3 t} \sin 2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais:
y''-6y'+13y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=-3.
Ele pede a solução do problema de valor inicial e apresenta cinco alternativas para escolher.

Passo 2

Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, a técnica padrão é procurar soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo essa forma na equação obtém-se a equação característica. Vamos montar essa equação característica:
r^2-6r+13=0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática \;r^2-6r+13=0\; usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
\Delta = (-6)^2-4\cdot 1\cdot 13 = 36-52 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{6\pm\sqrt{-16}}{2} = \frac{6\pm 4i}{2} = 3\pm 2i.
Então as raízes são r_1=3+2i e r_2=3-2i.

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, a solução geral real da EDO é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais. Aqui temos \alpha=3 e \beta=2, portanto a solução geral é
y(t)=e^{3t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big).

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo t=0 na expressão de y(t) e lembrando que \cos 0=1 e \sin 0=0,
y(0)=e^{0}\big(C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0\big)=C_1.
A condição y(0)=0 implica
C_1=0.
Logo a solução reduz para
y(t)=e^{3t}\big(0\cdot\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big)=C_2 e^{3t}\sin(2t).

Passo 6

Precisamos usar y'(0)=-3 para achar C_2. Primeiro derivamos y(t)=C_2 e^{3t}\sin(2t). Usamos a regra do produto e as derivadas \frac{d}{dt}e^{3t}=3e^{3t}, \frac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t). Assim
y'(t)=C_2\big(3e^{3t}\sin(2t)+e^{3t}\cdot 2\cos(2t)\big)=C_2 e^{3t}\big(3\sin(2t)+2\cos(2t)\big).
Agora avaliamos em t=0. Como \sin 0=0 e \cos 0=1,
y'(0)=C_2 e^{0}\big(3\cdot 0 + 2\cdot 1\big)=2C_2.
A condição y'(0)=-3 implica
2C_2=-3\quad\Rightarrow\quad C_2=-\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Substituindo C_1=0 e C_2=-\tfrac{3}{2} na solução reduzida obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(t)=-\tfrac{3}{2}\,e^{3t}\sin(2t).

Passo 8

Como verificação rápida: y(0)=-\tfrac{3}{2}e^{0}\sin 0=0 e y'(0)=2C_2=2\cdot(-\tfrac{3}{2})=-3, que conferem com as condições iniciais. Tudo bate.

Resposta

e. -\tfrac{3}{2} e^{3 t} \sin 2 t

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