Questão 3
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
A solução do problema de valor inicial
é
a.
b.
c.
d.
e.
Completo
Vale 1,00 ponto(s).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais:
Ele pede a solução do problema de valor inicial e apresenta cinco alternativas para escolher.
Passo 2
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, a técnica padrão é procurar soluções da forma
. Substituindo essa forma na equação obtém-se a equação característica. Vamos montar essa equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Então as raízes são
e
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, a solução geral real da EDO é
onde
e
são constantes reais. Aqui temos
e
, portanto a solução geral é
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
e lembrando que
e
,
A condição
implica
Logo a solução reduz para
Passo 6
Precisamos usar
para achar
. Primeiro derivamos
. Usamos a regra do produto e as derivadas
,
. Assim
Agora avaliamos em
. Como
e
,
A condição
implica
Passo 7
Substituindo
e
na solução reduzida obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
Passo 8
Como verificação rápida:
e
, que conferem com as condições iniciais. Tudo bate.
Resposta
e.