Informe para os campos de velocidade abaixo: Se são uni, bi ou tridimensionais e diga por quê. Se são permanentes ou não permanentes e diga por quê. As quantidades a e b são constantes.
f)
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Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
com
e
constantes, e pede duas classificações:
- se o campo é uni-, bi- ou tridimensional (diga o porquê);
- se o campo é permanente (steady) ou não permanente (unsteady) (diga o porquê).
As informações relevantes fornecidas: os três componentes explícitos de
e que
são constantes. Não há mais dados numéricos.
Passo 2
O que significa ser uni-, bi- ou tridimensional (explicação didática e prática para prova):
- Dizemos que um campo de velocidade é unidimensional se só existe uma componente não nula (por exemplo
); nesse caso o vetor está sempre ao longo de uma única direção. - Dizemos que é bidimensional se as componentes não nulas estão contidas em um plano (por exemplo
), ou seja, o vetor velocidade não tem componente na terceira direção; o vetor vive em um plano. - Dizemos que é tridimensional se as três componentes espaciais são, em geral, não nulas (
possivelmente diferentes de zero).
Nota importante (que às vezes aparece em provas): alguns autores exigem, para chamar o escoamento de “2D”, que além deo campo não varie com a coordenada (isto é, ). Vou explicar as duas interpretações e indicar qual usamos aqui.
Passo 3
Aplique as definições ao campo dado (identificação das componentes):
Escrevemos as componentes do campo:
Escrevemos as componentes do campo:
Observações imediatas:
-
para todo : não há componente de velocidade na direção . - As componentes
e em geral são não nulas (dependendo de ).
Com isso, pelo critério “vetor no plano” o campo é bidimensional, porque a velocidade em cada ponto aponta dentro do plano
(não tem componente na direção
). Em outras palavras, todos os vetores velocidade estão no plano
.
Passo 4
Discussão da sutileza sobre dependência em
:
Embora , a componente
depende explicitamente de
(tem o fator
em
). Isso significa que as propriedades do escoamento variam com a coordenada
; portanto, se você usa a definição mais estrita de “escoamento 2D” que exige
, então o escoamento não é 2D nesse sentido mais forte. Resumindo:
Embora
- Pelo critério habitual de “número de componentes não-nulas”: é um escoamento bidimensional (vetores no plano
). - Pelo critério estrito de “invariância na terceira direção”: não é 2D porque há variação com
.
Em provas, quando pedirem simplesmente uni/bi/tridimensional normalmente basta dizer que é bidimensional porque
. Vou adotar essa convenção prática.
Passo 5
O que significa ser permanente (steady) ou não (explicação didática):
- Um campo é permanente (steady) se não há dependência explícita do tempo, isto é, se
. - Se alguma componente depende explicitamente de
, o campo é não permanente (unsteady), pois a velocidade em um ponto muda com o tempo.
Passo 6
Calcule a derivada temporal do campo para verificar permanência:
Como , a derivada parcial em relação ao tempo é
Como
Essa derivada não é o vetor nulo em geral (por exemplo, para
e
é não nula). Logo o campo tem dependência explícita do tempo e, portanto, é não permanente (unsteady).
Observação final útil para a prova: se
então a dependência temporal desaparece e o campo seria permanente; como
foi declarado constante mas não foi especificado zero, a classificação geral é não permanente.
Passo 7
Resumo lógico das conclusões (para guardar na cabeça):
- Dimensão: como
todos os vetores velocidade estão contidos no plano → classifica-se como bidimensional (nota: não é invariante em porque depende de , veja a explicação no Passo 4). - Permanência: existe dependência explícita em
(via ) → o campo é não permanente.
Resposta
Bidimensional
Não permanente
Não permanente