Informe para os campos de velocidade abaixo: Se são uni, bi ou tridimensionais e diga por quê. Se são permanentes ou não permanentes e diga por quê. As quantidades a e b são constantes.
f) \vec{V}=\langle a x y,-b y z t, 0\rangle

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\vec{V}=\langle a x y,\; -b y z t,\; 0\rangle
com a e b constantes, e pede duas classificações:
  1. se o campo é uni-, bi- ou tridimensional (diga o porquê);
  2. se o campo é permanente (steady) ou não permanente (unsteady) (diga o porquê).
As informações relevantes fornecidas: os três componentes explícitos de \vec{V} e que a,b são constantes. Não há mais dados numéricos.

Passo 2

O que significa ser uni-, bi- ou tridimensional (explicação didática e prática para prova):
  • Dizemos que um campo de velocidade é unidimensional se só existe uma componente não nula (por exemplo \vec{V}=\langle V_x,0,0\rangle); nesse caso o vetor está sempre ao longo de uma única direção.
  • Dizemos que é bidimensional se as componentes não nulas estão contidas em um plano (por exemplo \vec{V}=\langle V_x,V_y,0\rangle), ou seja, o vetor velocidade não tem componente na terceira direção; o vetor vive em um plano.
  • Dizemos que é tridimensional se as três componentes espaciais são, em geral, não nulas ( V_x,V_y,V_z possivelmente diferentes de zero).
    Nota importante (que às vezes aparece em provas): alguns autores exigem, para chamar o escoamento de “2D”, que além de V_z=0 o campo não varie com a coordenada z (isto é, \partial/\partial z =0). Vou explicar as duas interpretações e indicar qual usamos aqui.

Passo 3

Aplique as definições ao campo dado (identificação das componentes):
Escrevemos as componentes do campo:
V_x = a x y,\qquad V_y = -b y z t,\qquad V_z = 0.
Observações imediatas:
  • V_z=0 para todo (x,y,z,t): não há componente de velocidade na direção z.
  • As componentes V_x e V_y em geral são não nulas (dependendo de x,y,z,t).
Com isso, pelo critério “vetor no plano” o campo é bidimensional, porque a velocidade em cada ponto aponta dentro do plano xy (não tem componente na direção z). Em outras palavras, todos os vetores velocidade estão no plano xy.

Passo 4

Discussão da sutileza sobre dependência em z:
Embora V_z=0, a componente V_y depende explicitamente de z (tem o fator z em -b y z t). Isso significa que as propriedades do escoamento variam com a coordenada z; portanto, se você usa a definição mais estrita de “escoamento 2D” que exige \partial/\partial z = 0, então o escoamento não é 2D nesse sentido mais forte. Resumindo:
  • Pelo critério habitual de “número de componentes não-nulas”: é um escoamento bidimensional (vetores no plano xy).
  • Pelo critério estrito de “invariância na terceira direção”: não é 2D porque há variação com z.
Em provas, quando pedirem simplesmente uni/bi/tridimensional normalmente basta dizer que é bidimensional porque V_z=0. Vou adotar essa convenção prática.

Passo 5

O que significa ser permanente (steady) ou não (explicação didática):
  • Um campo é permanente (steady) se não há dependência explícita do tempo, isto é, se \partial \vec{V}/\partial t = \vec{0}.
  • Se alguma componente depende explicitamente de t, o campo é não permanente (unsteady), pois a velocidade em um ponto muda com o tempo.

Passo 6

Calcule a derivada temporal do campo para verificar permanência:
Como \vec{V}=\langle a x y,\; -b y z t,\; 0\rangle, a derivada parcial em relação ao tempo é
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=\left\langle 0,\; \frac{\partial}{\partial t}(-b y z t),\; 0\right\rangle =\langle 0,\; -b y z,\; 0\rangle.
Essa derivada não é o vetor nulo em geral (por exemplo, para y\neq 0 e z\neq 0 é não nula). Logo o campo tem dependência explícita do tempo e, portanto, é não permanente (unsteady).
Observação final útil para a prova: se b=0 então a dependência temporal desaparece e o campo seria permanente; como b foi declarado constante mas não foi especificado zero, a classificação geral é não permanente.

Passo 7

Resumo lógico das conclusões (para guardar na cabeça):
  • Dimensão: como V_z=0 todos os vetores velocidade estão contidos no plano xy → classifica-se como bidimensional (nota: não é invariante em z porque V_y depende de z, veja a explicação no Passo 4).
  • Permanência: existe dependência explícita em t (via -b y z t) → o campo é não permanente.

Resposta

Bidimensional
Não permanente

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