Um sistema hidráulico é composto por três tubos, com as seguintes características:
a) O tubo L1 tem a montante um reservatório com nível constante a 760,00 m , comprimento de 350 m e diâmetro interno de 6 " e a jusante tem o ponto “B”;
b) O tubo L2 tem a montante um reservatório com nível constante a 754,00 m , comprimento de 240 m e diâmetro interno de 8^{\prime \prime} e a jusante tem o ponto “B”;
c) O tubo L3 tem a montante o ponto “B”, comprimento desprezível e a jusante descarrega em um canal
Considerando 1^{\prime \prime}=2,54 \mathrm{~cm}, todos os tubos com \mathrm{C}=130, a mesma vazão nos tubos L1 e L2, calcule a vazão no canal.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a vazão que sai no canal (vazão no trecho L3), sabendo que os tubos L1 e L2 têm a mesma vazão e que L3 tem comprimento desprezível. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Nível do reservatório a montante de L1: } H_1 = 760{,}00\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Comprimento de L1: } L_1 = 350\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Diâmetro interno de L1: } 6'' \\ (=6\times2{,}54\\ \mathrm{cm}),\\[6pt] &\text{Nível do reservatório a montante de L2: } H_2 = 754{,}00\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Comprimento de L2: } L_2 = 240\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Diâmetro interno de L2: } 8'' \\ (=8\times2{,}54\\ \mathrm{cm}),\\[6pt] &\text{L3 tem montante no ponto B (junção) e comprimento desprezível.}\\[4pt] &\text{Coeficiente de rugosidade (Hazen–Williams) em todos os tubos: } C = 130,\\\ &\text{Vazões em L1 e L2 são iguais: } Q_1 = Q_2.\\\ \end{aligned}íóâíóâçãíõã
O que se pede: calcular a vazão no canal Q_{\text{canal}}. Observação implícita: Q_{\text{canal}}=Q_3 e como L3 liga B ao canal com comprimento desprezível, tem-se Q_{\text{canal}}=Q_1+Q_2=2Q_1.]

Passo 2

Aprendendo a fórmula que vamos usar (aula rápida, passo a passo).
Usaremos a fórmula empírica de Hazen–Williams que relaciona perda de carga por atrito h_f em um trecho de tubo com a vazão Q:
h_f = K \,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • K é o coeficiente numérico que depende das unidades; para Q em \mathrm{m^3/s}, L em \mathrm{m}, D em \mathrm{m} usa-se K=10{,}67,
  • L é o comprimento do tubo (m),
  • Q é a vazão na tubulação ( \mathrm{m^3/s}),
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno do tubo (m).
Explico por que essa fórmula serve aqui: cada tubo parte de um reservatório com nível conhecido e desemboca no ponto B. A diferença de nível entre o reservatório e B é dissipada pela perda de carga h_f no tubo. Assim, relacionando H_{\text{reservatório}}-H_Bó com h_f obtemos equações para Q.

Passo 3

Escrevendo as perdas nos dois tubos usando Hazen–Williams (cada tubo tem a mesma vazão Q):
h_{f1} = 10{,}67\,\frac{L_1\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D_1^{4{,}871}},\qquad h_{f2} = 10{,}67\,\frac{L_2\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D_2^{4{,}871}}.
As diferenças de nível entre os reservatórios e o ponto B são iguais às perdas:
H_1 - H_B = h_{f1},\qquad H_2 - H_B = h_{f2}.
Subtraindo as duas equações para eliminar H_B (já que é o mesmo ponto B para ambas):
(H_1-H_B)-(H_2-H_B)=H_1-H_2 = h_{f1}-h_{f2}.
Portanto
H_1-H_2 = 10{,}67\,\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}}\left(\frac{L_1}{D_1^{4{,}871}}-\frac{L_2}{D_2^{4{,}871}}\right).
Neste problema H_1-H_2 = 760{,}00-754{,}00 = 6{,}00\\ \mathrm{m}. Temos assim uma equação para Q.

Passo 4

Faço a conversão dos diâmetros de polegadas para metros (usei 1'' = 2{,}54\\ \mathrm{cm}):
D_1 = 6'' = 6\times2{,}54\\ \mathrm{cm} = 15{,}24\\ \mathrm{cm} = 0{,}1524\\ \mathrm{m},
D_2 = 8'' = 8\times2{,}54\\ \mathrm{cm} = 20{,}32\\ \mathrm{cm} = 0{,}2032\\ \mathrm{m}.
Reescrevo a equação numérica:
6{,}00 = 10{,}67\frac{Q^{1{,}852}}{130^{1{,}852}}\left(\frac{350}{D_1^{4{,}871}}-\frac{240}{D_2^{4{,}871}}\right).

Passo 5

Calculo passo a passo os expoentes e os termos numéricos (mostrando como fazer na prova sem calculadora: aqui uso valores aproximados com contas explicadas).
Primeiro calcule C^{1{,}852}:
130^{1{,}852}\approx 8{,}223\cdot10^{3}.
Agora calcule D_1^{4{,}871} e D_2^{4{,}871} (faça log ou calc. científico; aqui apresento os valores numéricos obtidos):
D_1^{4{,}871} = (0{,}1524)^{4{,}871} \approx 1{,}058\times10^{-4},
D_2^{4{,}871} = (0{,}2032)^{4{,}871} \approx 4{,}260\times10^{-4}.
Agora os termos \dfrac{L}{D^{4{,}871}}:
\frac{L_1}{D_1^{4{,}871}} = \frac{350}{1{,}058\times10^{-4}} \approx 3{,}307{,}000,
\frac{L_2}{D_2^{4{,}871}} = \frac{240}{4{,}260\times10^{-4}} \approx 563{,}380.
A diferença:
\frac{L_1}{D_1^{4{,}871}}-\frac{L_2}{D_2^{4{,}871}} \approx 2{,}743{,}620.

Passo 6

Calculo do coeficiente multiplicador que multiplica Q^{1{,}852}:
A = 10{,}67 / 130^{1{,}852} \approx \frac{10{,}67}{8{,}223\times10^{3}} \approx 1{,}2976\times10^{-3}.
Multiplicando A pela diferença obtida:
A\left(\frac{L_1}{D_1^{4{,}871}}-\frac{L_2}{D_2^{4{,}871}}\right) \approx 1{,}2976\times10^{-3}\times2{,}743{,}620 \approx 3{,}560{,}02.
Logo a equação numérica fica:
6{,}00 = 3{,}560{,}02\;Q^{1{,}852}.
Isolando Q^{1{,}852}:
Q^{1{,}852} = \frac{6{,}00}{3{,}560{,}02} \approx 1{,}6854\times10^{-3}.
Agora extraímos Q fazendo potência inversa:
Q = \left(1{,}6854\times10^{-3}\right)^{1/1{,}852}.
O expoente 1/1{,}852\approx 0{,}53996. Assim
Q \approx \exp\big(0{,}53996\ln(1{,}6854\times10^{-3})\big) \approx 0{,}03175\\ \mathrm{m^3/s}.
Esse é o valor de Q_1 (vazão em cada um dos tubos L1 e L2).

Passo 7

A vazão no canal é a soma das duas vazões (porque L3 recebe os dois fluxos e compr. desprezível não adiciona perda):
Q_{\text{canal}} = Q_1+Q_2 = 2Q_1 = 2\times0{,}03175 \approx 0{,}0635\\ \mathrm{m^3/s}.
Em litros por segundo:
Q_{\text{canal}} \approx 63{,}5\\ \mathrm{L/s}.
Força aí — deu trabalho, mas o procedimento é sempre o mesmo: escrever Hazen–Williams, igualar as diferenças de nível às perdas, e resolver para Q. Se quiser, a gente repete com arredondamentos diferentes ou mostra passos usando logs mais detalhados para tirar a raiz.

Resposta

Q_{\text{canal}} = 0,0635\\ \mathrm{m^3/s} \;=\; 63{,}5\\ \mathrm{L/s}

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