Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais T.
f(x, y)=\operatorname{sen}\left[2 \pi\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sin\!\bigl(2\pi(x^{2}+y^{2})\bigr)
e pede para informar se esse sinal é periódico; caso seja, encontrar os períodos fundamentais T.
Informações importantes fornecidas:
\;f está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
A única expressão que aparece é 2\pi(x^{2}+y^{2}) dentro do seno.
O que se pede: determinar se existe um vetor de translação não nulo (T_{x},T_{y}) tal que para todo (x,y) tenha f(x+T_{x},y+T_{y})=f(x,y); se existir, encontrar o(s) período(s) fundamentais.

Passo 2

Definição prática de período (em 2 variáveis) que vamos usar: dizemos que f é periódica por translação se existe um vetor não nulo (T_{x},T_{y}) tal que, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2},
f(x+T_{x},y+T_{y})=f(x,y).
Aqui T_x e T_y são números reais fixos. O período fundamental, se existir, seria o menor vetor (em algum sentido) que satisfaz essa igualdade; mas primeiro precisamos ver se existe qualquer vetor não nulo.
Lembrete sobre o seno: a função \sin(\cdot) satisfaz
\sin(\alpha+2\pi n)=\sin(\alpha)
para todo \alpha e todo n\in\mathbb{Z}. Então a igualdade f(x+T_x,y+T_y)=f(x,y) equivale a exigir que, para todo (x,y),
2\pi\bigl((x+T_x)^{2}+(y+T_y)^{2}\bigr)=2\pi(x^{2}+y^{2})+2\pi k(x,y)
para algum k(x,y)\in\mathbb{Z} (dependendo possivelmente de (x,y)). Podemos dividir por 2\pi e escrever a condição sem o fator 2\pi.

Passo 3

Escrevendo a condição sem o 2\pi: para todo (x,y) deve existir um inteiro k(x,y) tal que
(x+T_x)^{2}+(y+T_y)^{2}-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=k(x,y).
Expandindo os quadrados obtemos
2xT_x + T_x^{2} + 2yT_y + T_y^{2} = k(x,y).
Ou seja,
k(x,y)=2xT_x + 2yT_y + (T_x^{2}+T_y^{2}).

Passo 4

Análise da expressão encontrada: o lado direito é uma função afim (linear em x e y mais constante) que varia continuamente com x e y. Já k(x,y) deve ser um número inteiro para cada par (x,y). Para que uma função contínua de (x,y) tenha valores apenas em \mathbb{Z} para todos os reais (x,y), essa função teria de ser constante (pois uma imagem contínua de um conjunto conexo como \mathbb{R}^{2} é um intervalo, e um intervalo contido em \mathbb{Z} só pode ser um ponto). Portanto, a quantidade
g(x,y):=2xT_x + 2yT_y + (T_x^{2}+T_y^{2})
deve ser uma constante inteira independente de x e y.

Passo 5

Para que g(x,y) seja independente de x e y, suas derivadas em relação a x e a y devem ser zero. Calculando derivadas:
\frac{\partial g}{\partial x}=2T_x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2T_y.
Portanto é necessário que 2T_x=0 e 2T_y=0, isto é,
T_x=0\quad\text{e}\quad T_y=0.
Assim a única possibilidade é o vetor nulo (0,0). Se T_x=T_y=0 então g é constante (igual a 0) e k(x,y)=0 para todo (x,y), mas esse “período” é trivial (nenhuma translação).

Passo 6

Conclusão lógica: não existe vetor de translação não nulo (T_x,T_y) que faça f(x+T_x,y+T_y)=f(x,y) para todo (x,y). Em termos mais intuitivos: qualquer tentativa de transladar por um vetor com T_x\neq0 ou T_y\neq0 introduz termos do tipo 2xT_x ou 2yT_y que variam com x ou y; não há como esses termos se tornarem sempre inteiros para todos os reais x,y. Logo não há período não nulo por tradução.

Passo 7

Observação adicional (útil para entendimento): a função depende apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2}, isto é,
f(x,y)=\sin\!\bigl(2\pi r^{2}\bigr)\quad\text{com}\quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Por isso ela é invariante por rotações em torno da origem (se rotacionarmos (x,y) a distância ao centro não muda). Mas invariância por rotação não é invariância por translação — e a definição de periodicidade que usamos exige existir uma translação que preserva a função em todo o plano. Como vimos, isso não acontece aqui.

Resposta

Não é periódico (não existe período de translação não nulo).

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