Informe se os seguintes sinais são periódicos. Caso algum seja, encontre os períodos fundamentais
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para informar se esse sinal é periódico; caso seja, encontrar os períodos fundamentais
.
Informações importantes fornecidas:
está definida para todos os pares
.
A única expressão que aparece é dentro do seno.
O que se pede: determinar se existe um vetor de translação não nulo tal que para todo
tenha
; se existir, encontrar o(s) período(s) fundamentais.
Informações importantes fornecidas:
A única expressão que aparece é
O que se pede: determinar se existe um vetor de translação não nulo
Passo 2
Definição prática de período (em 2 variáveis) que vamos usar: dizemos que
é periódica por translação se existe um vetor não nulo
tal que, para todo
,
Aqui
e
são números reais fixos. O período fundamental, se existir, seria o menor vetor (em algum sentido) que satisfaz essa igualdade; mas primeiro precisamos ver se existe qualquer vetor não nulo.
Lembrete sobre o seno: a função satisfaz
Lembrete sobre o seno: a função
para todo
e todo
. Então a igualdade
equivale a exigir que, para todo
,
para algum
(dependendo possivelmente de
). Podemos dividir por
e escrever a condição sem o fator
.
Passo 3
Escrevendo a condição sem o
: para todo
deve existir um inteiro
tal que
Expandindo os quadrados obtemos
Ou seja,
Passo 4
Análise da expressão encontrada: o lado direito é uma função afim (linear em
e
mais constante) que varia continuamente com
e
. Já
deve ser um número inteiro para cada par
. Para que uma função contínua de
tenha valores apenas em
para todos os reais
, essa função teria de ser constante (pois uma imagem contínua de um conjunto conexo como
é um intervalo, e um intervalo contido em
só pode ser um ponto). Portanto, a quantidade
deve ser uma constante inteira independente de
e
.
Passo 5
Para que
seja independente de
e
, suas derivadas em relação a
e a
devem ser zero. Calculando derivadas:
Portanto é necessário que
e
, isto é,
Assim a única possibilidade é o vetor nulo
. Se
então
é constante (igual a
) e
para todo
, mas esse “período” é trivial (nenhuma translação).
Passo 6
Conclusão lógica: não existe vetor de translação não nulo
que faça
para todo
. Em termos mais intuitivos: qualquer tentativa de transladar por um vetor com
ou
introduz termos do tipo
ou
que variam com
ou
; não há como esses termos se tornarem sempre inteiros para todos os reais
. Logo não há período não nulo por tradução.
Passo 7
Observação adicional (útil para entendimento): a função depende apenas de
, isto é,
Por isso ela é invariante por rotações em torno da origem (se rotacionarmos
a distância ao centro não muda). Mas invariância por rotação não é invariância por translação — e a definição de periodicidade que usamos exige existir uma translação que preserva a função em todo o plano. Como vimos, isso não acontece aqui.
Resposta
Não é periódico (não existe período de translação não nulo).