Com a ingestão de um determinado medicamento para o tratamento da depressão, 20% dos doentes afirmam sentir efeitos secundários durante a primeira semana de tratamento. Selecionou-se uma amostra aleatória de 15 doentes. Seja X a variável aleatória que representa o número de doentes que sentem os referidos efeitos secundários numa amostra de 15 doentes.
Calcule a variância da v. a. X.

Passo 1

Vamos resolver um problema de estatística envolvendo variância. O enunciado fala sobre a probabilidade de pacientes sentirem efeitos secundários ao tomar um medicamento para depressão. Precisamos calcular a variância da variável aleatória $ X $, que representa o número de pacientes que sentirão esses efeitos em uma amostra de 15 pessoas. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada paciente pode ou não sentir os efeitos secundários, o que se encaixa nessa definição.

Passo 3

Identificamos os parâmetros da distribuição binomial:
  • $ n = 15 $: número de tentativas (pacientes).
  • $ p = 0,20 $: probabilidade de sucesso (sentir efeitos secundários).
  • $ q = 1 - p = 0,80 $: probabilidade de fracasso (não sentir efeitos).

Passo 4

A variância de uma distribuição binomial é calculada pela fórmula:
Var(X) = n times p times q
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso,
  • $ q $ é a probabilidade de fracasso.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Var(X) = 15 times 0,20 times 0,80

Passo 6

Fazendo as contas:
Var(X) = 15 times 0,16 = 2,4

Resposta

A variância da variável aleatória $ X $ é 2,4.

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