Com a ingestão de um determinado medicamento para o tratamento da depressão, 20% dos doentes afirmam sentir efeitos secundários durante a primeira semana de tratamento. Selecionou-se uma amostra aleatória de 15 doentes. Seja
a variável aleatória que representa o número de doentes que sentem os referidos efeitos secundários numa amostra de 15 doentes.
Calcule a variância da v. a. X.
Calcule a variância da v. a. X.
Passo 1
Vamos resolver um problema de estatística envolvendo variância. O enunciado fala sobre a probabilidade de pacientes sentirem efeitos secundários ao tomar um medicamento para depressão. Precisamos calcular a variância da variável aleatória $ X $, que representa o número de pacientes que sentirão esses efeitos em uma amostra de 15 pessoas. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada paciente pode ou não sentir os efeitos secundários, o que se encaixa nessa definição.
Passo 3
Identificamos os parâmetros da distribuição binomial:
- $ n = 15 $: número de tentativas (pacientes).
- $ p = 0,20 $: probabilidade de sucesso (sentir efeitos secundários).
- $ q = 1 - p = 0,80 $: probabilidade de fracasso (não sentir efeitos).
Passo 4
A variância de uma distribuição binomial é calculada pela fórmula:
Onde:
- $ n $ é o número de tentativas,
- $ p $ é a probabilidade de sucesso,
- $ q $ é a probabilidade de fracasso.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 6
Fazendo as contas:
Resposta
A variância da variável aleatória $ X $ é 2,4.