Em uma reprografia 20% de todas as cópias apresentam falhas. Seja X o número de cópias que apresentam falhas entre 15 cópias selecionadas aleatoriamente. Determine:
A probabilidade de no mínimo 3 cópias apresentarem falhas.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma situação onde 20% das cópias feitas apresentam falhas. Queremos descobrir a probabilidade de, em um grupo de 15 cópias escolhidas aleatoriamente, pelo menos 3 delas apresentarem falhas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade Binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • n (número de tentativas) = 15 cópias
  • p (probabilidade de sucesso, ou seja, uma cópia com falha) = 20% ou 0,20
  • k (número de sucessos) = queremos pelo menos 3 falhas

Passo 3

A probabilidade de exatamente k falhas em n tentativas é dada pela fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
onde binomnk é o coeficiente binomial, calculado como n!k!(n - k)!.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de pelo menos 3 falhas, ou seja, P(X >= 3), podemos calcular isso de forma mais fácil subtraindo a probabilidade de ter menos de 3 falhas da unidade:
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. P(X = 0):
P(X = 0) = binom150 times 0,20^0 times 0,80^15 = 1 times 1 times 0,80^15 approx 0,0352
  1. P(X = 1):
P(X = 1) = binom151 times 0,20^1 times 0,80^14 = 15 times 0,20 times 0,80^14 approx 0,1323
  1. P(X = 2):
P(X = 2) = binom152 times 0,20^2 times 0,80^13 = 105 times 0,04 times 0,80^13 approx 0,2299

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,0352 + 0,1323 + 0,2299 = 0,3974

Passo 7

Finalmente, subtraímos essa soma de 1 para encontrar P(X >= 3):
P(X >= 3) = 1 - 0,3974 = 0,6026

Resposta

A probabilidade de que no mínimo 3 cópias apresentem falhas é aproximadamente 60,26%.

Exercícios relacionados