Em uma reprografia 20% de todas as cópias apresentam falhas. Seja X o número de cópias que apresentam falhas entre 15 cópias selecionadas aleatoriamente. Determine:
A probabilidade de no mínimo 3 cópias apresentarem falhas.
A probabilidade de no mínimo 3 cópias apresentarem falhas.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma situação onde 20% das cópias feitas apresentam falhas. Queremos descobrir a probabilidade de, em um grupo de 15 cópias escolhidas aleatoriamente, pelo menos 3 delas apresentarem falhas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade Binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
- n (número de tentativas) = 15 cópias
- p (probabilidade de sucesso, ou seja, uma cópia com falha) = 20% ou 0,20
- k (número de sucessos) = queremos pelo menos 3 falhas
Passo 3
A probabilidade de exatamente k falhas em n tentativas é dada pela fórmula da distribuição binomial:
onde
é o coeficiente binomial, calculado como
.
Passo 4
Como queremos a probabilidade de pelo menos 3 falhas, ou seja,
, podemos calcular isso de forma mais fácil subtraindo a probabilidade de ter menos de 3 falhas da unidade:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
- P(X = 0):
- P(X = 1):
- P(X = 2):
Passo 6
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 7
Finalmente, subtraímos essa soma de 1 para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que no mínimo 3 cópias apresentem falhas é aproximadamente 60,26%.