Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 0,05 de um dado ser transmitido erroneamente. Ao se realizar um teste para analisar a confiabilidade do sistema foram transmitidos 4 dados.
Qual é a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão de exatamente 2 dados?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de transmissão de dados onde a chance de um dado ser enviado errado é de 0,05 (ou seja, 5%). No teste que foi feito, 4 dados foram enviados. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 2 desses 4 dados terem sido transmitidos com erro?
Aqui, vamos usar a probabilidade binomial, que é útil quando estamos lidando com eventos que têm duas opções (sucesso ou falha) e queremos saber a probabilidade de um certo número de sucessos em várias tentativas. Vamos precisar da fórmula da distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da probabilidade binomial. Ela nos ajuda a calcular a chance de obter exatamente k sucessos em n tentativas, sabendo que a probabilidade de sucesso em cada tentativa é p. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o número de combinações de n itens tomados k a k.
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • 1 - p é a probabilidade de falha em uma única tentativa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Aqui, temos:
  • n = 4 (total de dados enviados)
  • k = 2 (número de erros que queremos)
  • p = 0,05 (probabilidade de um erro)
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
P(X = 2) = binom42 times (0,05)^2 times (1 - 0,05)^4 - 2

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa expressão passo a passo.
Primeiro, calculamos binom42, que é o número de maneiras de escolher 2 erros em 4 tentativas:
binom42 = 4!2! times (4 - 2)! = 242 times 2 = 6
Em seguida, calculamos $ (0,05)^2 $:
(0,05)^2
E depois, calculamos $ (1 - 0,05)^{2} $:
(0,05)^2 = 0,0025

Passo 5

Agora, multiplicamos todos esses valores juntos para encontrar a probabilidade total:
P(X = 2) = 6 times 0,0025 times 0,9025
P(X = 2) = 6 times 0,00225625
P(X = 2) = 0,0135375

Resposta

A probabilidade de que exatamente 2 dos 4 dados sejam transmitidos com erro é aproximadamente 0,0135 ou 1,35%.

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