Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por:
Valores xi 0 2 6 8
Probabilidades 0,2 0,3 0,3 0,2
Determine a média e o desvio padrão de X :

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória discreta $ X $. A tabela mostra os valores que $ X $ pode assumir e as respectivas probabilidades. A gente precisa calcular a média (o valor esperado) e o desvio padrão dessa variável. Para isso, vamos usar conceitos básicos de estatística como média, variância e desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da variável $ X $. A média é o valor esperado e é calculada multiplicando cada valor possível de $ X $ pela sua probabilidade e depois somando tudo. A fórmula é:
X
Então, vamos aplicar isso com os valores da tabela:
X
Calculando cada parte:
mu = E[X] = sumi xi cdot P(xi)
mu = (0 times 0,2) + (2 times 0,3) + (6 times 0,3) + (8 times 0,2)
0 times 0,2 = 0
2 times 0,3 = 0,6
Agora, somamos todos esses resultados:
6 times 0,3 = 1,8
Então, a média de $ X $ é 4.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, precisamos encontrar a variância da variável $ X $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à média. A fórmula para a variância é:
X
Primeiro, calculamos $ E[X^2] $, que é a soma de cada valor de $ X $ ao quadrado vezes sua probabilidade:
X
Aplicando os valores:
sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2
Calculando cada parte:
E[X^2]
X
E[X^2] = sumi xi^2 cdot P(xi)
E[X^2] = (0^2 times 0,2) + (2^2 times 0,3) + (6^2 times 0,3) + (8^2 times 0,2)
Somando tudo:
0^2 times 0,2 = 0
Agora, usamos a média que já calculamos para achar a variância:
2^2 times 0,3 = 4 times 0,3 = 1,2
Para encontrar o desvio padrão, tiramos a raiz quadrada da variância:
6^2 times 0,3 = 36 times 0,3 = 10,8

Resposta

A média de $ X $ é 4 e o desvio padrão é aproximadamente 2,97.

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