Suponha que o número médio de colônias de bactérias por 10 ml de água de um lago seja 5.
Qual a probabilidade de não se achar nenhuma colônia em 10 ml de água desse lago?
Qual a probabilidade de não se achar nenhuma colônia em 10 ml de água desse lago?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que, em média, encontramos 5 colônias de bactérias a cada 10 ml de água de um lago. A pergunta é: qual a probabilidade de não encontrar nenhuma colônia em 10 ml dessa água? Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma aleatória em um intervalo fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Distribuição de Poisson, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos em um intervalo fixo quando sabemos a média $ \lambda $ de ocorrências nesse intervalo. A fórmula é:
Aqui:
- $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é a média de eventos no intervalo.
- $ e $ é a constante de Euler, aproximadamente 2,71828.
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
No nosso caso, queremos saber a probabilidade de não encontrar nenhuma colônia, ou seja, $ k = 0 $. A média $ \lambda $ é 5 colônias por 10 ml. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
- Qualquer número elevado a 0 é 1, então $ 5^{0} = 1 $.
- O fatorial de 0 é 1, ou seja, $ 0! = 1 $.
Portanto:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o valor de $ e^{-5} $. Usando uma calculadora, encontramos:
Resposta
A probabilidade de não se achar nenhuma colônia em 10 ml de água desse lago é aproximadamente 0,67%.