Com a ingestão de um determinado medicamento para o tratamento da depressão, 20% dos doentes afirmam sentir efeitos secundários durante a primeira semana de tratamento. Selecionou-se uma amostra aleatória de 15 doentes. Seja X a variável aleatória que representa o número de doentes que sentem os referidos efeitos secundários numa amostra de 15 doentes.
Determine a probabilidade de pelo menos 1 e menos de 4 doentes sentirem efeitos secundários.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. A situação é a seguinte: 20% dos pacientes que tomam um certo remédio para depressão sentem efeitos colaterais na primeira semana. Selecionamos aleatoriamente 15 pacientes. Queremos descobrir a probabilidade de que pelo menos 1, mas menos de 4, desses pacientes sintam esses efeitos colaterais.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ideal para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 15 pacientes), cada uma com duas possíveis saídas: sucesso (sentir efeito colateral) ou fracasso (não sentir). Precisamos da fórmula da distribuição binomial e entender como aplicá-la para calcular a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial. A probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é dada por:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o número de combinações de n itens tomados k de cada vez.
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • (1-p) é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.
No nosso caso:
  • n = 15 (número de pacientes)
  • p = 0,20 (20% dos pacientes sentem efeitos colaterais)
  • k varia de 1 a 3 (queremos entre pelo menos 1 e menos de 4 pacientes)

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade para cada valor de k (1, 2 e 3) e depois somar esses valores para obter a probabilidade total desejada.
Para k = 1:
P(X = 1) = binom151 cdot 0,20^1 cdot 0,80^14
Calculando:
binom151 = 15
0,20^1 = 0,20
0,80^14 approx 0,04398
Então:
P(X = 1) = 15 cdot 0,20 cdot 0,04398 approx 0,1319
Para k = 2:
P(X = 2) = binom152 cdot 0,20^2 cdot 0,80^13
Calculando:
binom152 = 105
0,20^2 = 0,04
0,80^13 approx 0,05476
Então:
P(X = 2) = 105 cdot 0,04 cdot 0,05476 approx 0,2295
Para k = 3:
P(X = 3) = binom153 cdot 0,20^3 cdot 0,80^12
Calculando:
binom153 = 455
0,20^3 = 0,008
0,80^12 approx 0,06872
Então:
P(X = 3) = 455 cdot 0,008 cdot 0,06872 approx 0,2509

Passo 4

Agora, somamos as probabilidades de k = 1, 2 e 3 para encontrar a probabilidade total de pelo menos 1, mas menos de 4 pacientes sentirem efeitos colaterais:
P(1 <= X < 4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
P(1 <= X < 4) approx 0,1319 + 0,2295 + 0,2509 approx 0,6123

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 1, mas menos de 4, dos 15 pacientes sintam efeitos secundários é aproximadamente 61,23%.

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