Com a ingestão de um determinado medicamento para o tratamento da depressão, 20% dos doentes afirmam sentir efeitos secundários durante a primeira semana de tratamento. Selecionou-se uma amostra aleatória de 15 doentes. Seja
a variável aleatória que representa o número de doentes que sentem os referidos efeitos secundários numa amostra de 15 doentes.
Determine a probabilidade de pelo menos 1 e menos de 4 doentes sentirem efeitos secundários.
Determine a probabilidade de pelo menos 1 e menos de 4 doentes sentirem efeitos secundários.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. A situação é a seguinte: 20% dos pacientes que tomam um certo remédio para depressão sentem efeitos colaterais na primeira semana. Selecionamos aleatoriamente 15 pacientes. Queremos descobrir a probabilidade de que pelo menos 1, mas menos de 4, desses pacientes sintam esses efeitos colaterais.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ideal para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 15 pacientes), cada uma com duas possíveis saídas: sucesso (sentir efeito colateral) ou fracasso (não sentir). Precisamos da fórmula da distribuição binomial e entender como aplicá-la para calcular a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial. A probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é dada por:
Onde:
-
é o número de combinações de n itens tomados k de cada vez. - p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- (1-p) é a probabilidade de fracasso em uma única tentativa.
No nosso caso:
- n = 15 (número de pacientes)
- p = 0,20 (20% dos pacientes sentem efeitos colaterais)
- k varia de 1 a 3 (queremos entre pelo menos 1 e menos de 4 pacientes)
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade para cada valor de k (1, 2 e 3) e depois somar esses valores para obter a probabilidade total desejada.
Para k = 1:
Calculando:
Então:
Para k = 2:
Calculando:
Então:
Para k = 3:
Calculando:
Então:
Passo 4
Agora, somamos as probabilidades de k = 1, 2 e 3 para encontrar a probabilidade total de pelo menos 1, mas menos de 4 pacientes sentirem efeitos colaterais:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 1, mas menos de 4, dos 15 pacientes sintam efeitos secundários é aproximadamente 61,23%.