Em uma reprografia 20% de todas as cópias apresentam falhas. Seja X o número de cópias que apresentam falhas entre 15 cópias selecionadas aleatoriamente. Determine:
A probabilidade de não apresentarem falhas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Sabemos que 20% das cópias apresentam falhas. Queremos descobrir a probabilidade de, ao selecionar 15 cópias aleatoriamente, nenhuma delas ter falhas. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é útil para calcular probabilidades em situações com dois resultados possíveis (como sucesso ou falha) em múltiplas tentativas independentes.

Passo 2

A Distribuição Binomial é definida pela fórmula:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (no caso, 15 cópias),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (aqui, 0 cópias sem falhas),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (20%, ou 0,2).

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
P(X = 0) = binom150 (0,2)^0 (0,8)^15
Sabemos que:
  • $ \binom{15}{0} = 1 $ (pois há apenas uma maneira de escolher 0 itens),
  • $ (0,2)^0 = 1 $ (qualquer número elevado a 0 é 1).
Então, simplificando:
binom150 = 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular $ (0,8)^{15} $. Usando uma calculadora:
(0,8)^15
Isso significa que a probabilidade é de aproximadamente 3,5%.

Resposta

A probabilidade de nenhuma das 15 cópias apresentar falhas é aproximadamente 3,5%.

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