Com a ingestão de um determinado medicamento para o tratamento da depressão, 20% dos doentes afirmam sentir efeitos secundários durante a primeira semana de tratamento. Selecionou-se uma amostra aleatória de 15 doentes. Seja X a variável aleatória que representa o número de doentes que sentem os referidos efeitos secundários numa amostra de 15 doentes.
Qual a probabilidade de exatamente 5 doentes sentirem efeitos secundários?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade de doentes sentirem efeitos secundários ao tomar um medicamento para depressão. A gente sabe que 20% dos doentes sentem esses efeitos na primeira semana. A pergunta é: qual a chance de exatamente 5 dos 15 doentes na nossa amostra sentirem os efeitos? Para resolver isso, vamos usar o modelo binomial, que é ótimo para situações com sucessos e falhas em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da probabilidade binomial. Ela nos ajuda a calcular a chance de termos exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, sabendo que a probabilidade de sucesso em cada tentativa é $ p $. A fórmula é:
k

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos no nosso problema:
  • Número total de doentes: $ n = 15 $
  • Número de doentes que queremos que sintam efeitos secundários: $ k = 5 $
  • Probabilidade de um doente sentir efeitos secundários: $ p = 0,20 $

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{n}{k} $, que representa o número de maneiras de escolher 5 doentes entre 15. A fórmula para isso é:
binomnk
Substituindo os valores:
binomnk = n!k! times (n - k)!

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo na fórmula da probabilidade binomial:
P(X = 5) = 3003 times (0,20)^5 times (0,80)^10
Vamos calcular cada parte:
(0,20)^5 = 0,00032
(0,80)^10 = 0,1073741824
Multiplicando tudo:
P(X = 5) = 3003 times 0,00032 times 0,1073741824 approx 0,103

Resposta

A probabilidade de exatamente 5 dos 15 doentes sentirem efeitos secundários é de aproximadamente 10,3%.

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