Suponha que o número médio de colônias de bactérias por 10 ml de água de um lago seja 5.
Qual a probabilidade de se achar pelo menos duas colônias em 10 ml de água desse lago?
Qual a probabilidade de se achar pelo menos duas colônias em 10 ml de água desse lago?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que em 10 ml de água de um lago, em média, encontramos 5 colônias de bactérias. Nosso objetivo é descobrir qual a chance de encontrar pelo menos duas colônias em uma amostra de 10 ml. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma independente e a uma taxa média conhecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a Distribuição de Poisson. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de espaço ou tempo, dado que esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente.
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos (neste caso, 5 colônias por 10 ml).
- $ e $ é a base do logaritmo natural (~2,71828).
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Queremos a probabilidade de encontrar pelo menos duas colônias, ou seja, $ P(k \geq 2) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de encontrar menos de duas colônias (0 ou 1).
Vamos calcular $ P(0) $ e $ P(1) $ usando a fórmula de Poisson.
Passo 4
Calculando $ P(0) $:
Calculando $ P(1) $:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na equação para $ P(k \geq 2) $:
Resposta
A probabilidade de encontrar pelo menos duas colônias de bactérias em 10 ml de água desse lago é de aproximadamente 95,96%.