Suponha que o número médio de colônias de bactérias por 10 ml de água de um lago seja 5.
Qual a probabilidade de se achar pelo menos duas colônias em 10 ml de água desse lago?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que em 10 ml de água de um lago, em média, encontramos 5 colônias de bactérias. Nosso objetivo é descobrir qual a chance de encontrar pelo menos duas colônias em uma amostra de 10 ml. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma independente e a uma taxa média conhecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Distribuição de Poisson. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de espaço ou tempo, dado que esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente.
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda cdot lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos (neste caso, 5 colônias por 10 ml).
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Queremos a probabilidade de encontrar pelo menos duas colônias, ou seja, $ P(k \geq 2) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de encontrar menos de duas colônias (0 ou 1).
P(k >= 2)
Vamos calcular $ P(0) $ e $ P(1) $ usando a fórmula de Poisson.

Passo 4

Calculando $ P(0) $:
P(0)
Calculando $ P(1) $:
P(0; 5) = e^-5 cdot 5^00! = e^-5 cdot 1 / 1 = e^-5 approx 0,0067

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na equação para $ P(k \geq 2) $:
P(k >= 2)

Resposta

A probabilidade de encontrar pelo menos duas colônias de bactérias em 10 ml de água desse lago é de aproximadamente 95,96%.

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