Uma loja tem verificado nos últimos anos que 15 % dos seus clientes pagam as suas compras com cheque, 38 % com cartão de crédito, 32 % com cartão de débito e 15 % em dinheiro. Uma amostra de 160 vendas realizadas na semana anterior ao Natal revelou os seguintes resultados:
Tipo de pagamento Cheque Cartão de crédito Cartão de débito Dinheiro
Número de vendas 27 65 48 20
Verifique se o tipo de pagamento que os clientes da loja utilizam na época natalina é concordante com a informação que a loja tem (alpha=5 %).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A loja tem lembranças de como os clientes costumavam pagar suas compras: 15% com cheque, 38% com cartão de crédito, 32% com cartão de débito e 15% em dinheiro. Agora, eles coletaram dados de 160 vendas durante a semana antes do Natal e querem saber se essa nova distribuição de pagamentos está de acordo com a antiga, usando um nível de confiança de 5%. Para isso, vamos usar o teste de qui-quadrado para verificar se as proporções observadas diferem das esperadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número de vendas que esperaríamos para cada tipo de pagamento, baseado nas porcentagens antigas. Multiplicamos o total de vendas (160) pela porcentagem de cada forma de pagamento:
  • Cheque: $ 160 \times 0,15 = 24 $
  • Cartão de crédito: $ 160 \times 0,38 = 60,8 $
  • Cartão de débito: $ 160 \times 0,32 = 51,2 $
  • Dinheiro: $ 160 \times 0,15 = 24 $
Esses são os valores esperados se a distribuição de pagamentos não mudou.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste qui-quadrado. A fórmula é:
chi^2 = sum (O - E)^2E
Onde $ O $ é o valor observado e $ E $ o valor esperado. Vamos calcular para cada categoria:
  • Cheque: $ \frac{(27 - 24)^2}{24} = \frac{9}{24} = 0,375 $
  • Cartão de crédito: $ \frac{(65 - 60,8)^2}{60,8} = \frac{17,64}{60,8} \approx 0,29 $
  • Cartão de débito: $ \frac{(48 - 51,2)^2}{51,2} = \frac{10,24}{51,2} \approx 0,20 $
  • Dinheiro: $ \frac{(20 - 24)^2}{24} = \frac{16}{24} \approx 0,6667 $
Somando tudo:
O

Passo 4

Precisamos agora comparar esse valor com o valor crítico da distribuição qui-quadrado. Primeiro, determinamos os graus de liberdade, que no caso é número de categorias menos 1. Aqui temos 4 tipos de pagamento, então:
Graus de liberdade = 4 - 1 = 3
Consultando uma tabela de qui-quadrado para alpha = 5% e 3 graus de liberdade, o valor crítico é aproximadamente 7,815.

Passo 5

Comparamos o valor calculado $ \chi^2 \approx 1,5317 $ com o valor crítico 7,815. Como 1,5317 é menor que 7,815, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para afirmar que a distribuição dos tipos de pagamento durante a época natalina difere da distribuição histórica da loja ao nível de 5% de significância.

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