Um inibidor I é adicionado à uma reação enzimática até que sua concentração atingisse 1 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Os dados abaixo foram obtidos para um k_{m}=9,2 \mathrm{~g} / \mathrm{L}.
S(g / L) V p(g / L min- 1 )
20 0,909
10 0,658
6,67 0,493
5 0,4
4 0,33
3,33 0,289
2,5 0,227
a) O inibidor é competitivo ou não competitivo? Justifique.
b) Calcule o valor de K_{i}

Passo 1

O enunciado dá:
[I]=1\\ \mathrm{g/L}
K_m=9,2\\ \mathrm{g/L}
Tabela de dados (concentração de substrato S e velocidade v):
\begin{array}{cc} S\\ (\mathrm{g/L}) & v\\ (\mathrm{g/L\; min^{-1}})\\\\ 20 & 0{,}909\\\\ 10 & 0{,}658\\\\ 6{,}67 & 0{,}493\\\\ 5 & 0{,}4\\\\ 4 & 0{,}33\\\\ 3{,}33 & 0{,}289\\\\ 2{,}5 & 0{,}227 \end{array}
O que o enunciado pede:
a) Determinar se o inibidor é competitivo ou não competitivo e justificar.
b) Calcular o valor de K_i.

Passo 2

Plano e fórmulas úteis (aula rápida):
  • A equação de Michaelis–Menten é
v=\frac{V_{\max}[S]}{K_m+[S]},
onde [S] é a concentração de substrato, v é a velocidade inicial, K_m é a constante de Michaelis e V_{\max} é a velocidade máxima. Vou explicar o significado: K_m é a concentração de substrato na qual v atinge metade de V_{\max}; V_{\max} é a assíntota máxima da velocidade quando [S] é muito grande.
  • Linearizando (reta de Lineweaver–Burk):
\frac{1}{v}=\frac{K_m}{V_{\max}}\cdot\frac{1}{[S]}+\frac{1}{V_{\max}}.
Nessa forma, o coeficiente angular da reta ( m) é \dfrac{K_m}{V_{\max}} e a ordenada na origem ( b) é \dfrac{1}{V_{\max}}. Portanto, a partir de um ajuste linear de \dfrac{1}{v} vs \dfrac{1}{[S]} podemos obter V_{\max} e K_m (apparentes, na presença de inibidor).
  • Efeito dos inibidores:
    • Inibição competitiva (pura): V_{\max} permanece igual, K_{m,\text{app}}=K_m\left(1+\dfrac{[I]}{K_i}\right) (ou seja, K_m aparente aumenta).
    • Inibição não competitiva (pura): K_{m,\text{app}}=K_m (permanece) e V_{\max,\text{app}}=\dfrac{V_{\max}}{1+[I]/K_i} (ou seja, V_{\max} diminui).
Estratégia prática: estimar K_{m,\text{app}} e V_{\max,\text{app}} a partir dos dados usando a reta de Lineweaver–Burk; comparar K_{m,\text{app}} com o K_m dado e decidir o tipo; se for competitivo, usar
K_i=\frac{[I]}{\dfrac{K_{m,\text{app}}}{K_m}-1}.

Passo 3

Calcular \dfrac{1}{[S]} e \dfrac{1}{v} para cada ponto (valores com aproximação razoável):
\begin{array}{ccc} [S]\\ (\mathrm{g/L}) & \dfrac{1}{[S]}\\ (\mathrm{L/g}) & \dfrac{1}{v}\\ (\mathrm{min\;L/g})\\[4pt] 20 & 0{,}05 & 1{,}100\\[4pt] 10 & 0{,}10 & 1{,}520\\[4pt] 6{,}67 & 0{,}1499 & 2{,}029\\[4pt] 5 & 0{,}20 & 2{,}500\\[4pt] 4 & 0{,}25 & 3{,}030\\[4pt] 3{,}33 & 0{,}3003 & 3{,}460\\[4pt] 2{,}5 & 0{,}40 & 4{,}405 \end{array}
Esses números vêm de \dfrac{1}{[S]} e \dfrac{1}{v} calculados diretamente (por exemplo \dfrac{1}{0{,}909}\approx1{,}100, \dfrac{1}{0{,}658}\approx1{,}520, etc.).]

Passo 4

Ajuste linear (reta) por mínimos quadrados nos dados \left(\dfrac{1}{[S]},\dfrac{1}{v}\right).
Fórmulas para coeficiente angular m e intercepto b:
m=\frac{n\sum x y - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2},\qquad b=\frac{\sum y - m\sum x}{n},
onde x=\dfrac{1}{[S]},\\ y=\dfrac{1}{v} e n=7.
Cálculos (valores arredondados para apresentação):
\sum x \approx 1{,}4502253,\quad \sum y \approx 18{,}044277,
\sum x y \approx 4{,}570380,\quad \sum x^2 \approx 0{,}3876579,\quad n=7.
Substituindo:
m\approx\frac{7\cdot 4{,}570380 - 1{,}4502253\cdot 18{,}044277}{7\cdot 0{,}3876579 - (1{,}4502253)^2}\approx 9{,}54.
b\approx\frac{18{,}044277 - 9{,}54\cdot 1{,}4502253}{7}\approx 0{,}60068.
Lembrando que m=\dfrac{K_{m,\text{app}}}{V_{\max,\text{app}}} e b=\dfrac{1}{V_{\max,\text{app}}}. Assim:
V_{\max,\text{app}}=\frac{1}{b}\approx\frac{1}{0{,}60068}\approx 1{,}665\\ \mathrm{g/L\\ min},
K_{m,\text{app}}=m\cdot V_{\max,\text{app}}\approx 9{,}54\times 1{,}665\approx 15{,}9\\ \mathrm{g/L}.

Passo 5

Decisão sobre o tipo de inibidor (interpretação didática):
  • O K_m sem inibidor é K_m=9{,}2\\ \mathrm{g/L} (dado).
  • O K_{m,\text{app}} com inibidor calculado é \approx 15{,}9\\ \mathrm{g/L}, ou seja, aumentou significativamente.
  • Na inibição competitiva o efeito típico é aumento do K_m aparente com V_{\max} inalterado; na inibição não competitiva o K_m permanece quase o mesmo e o V_{\max} diminui.
Aqui observamos aumento de K_m aparente, portanto o padrão é o de inibição competitiva. Conclusão: o inibidor é competitivo (justificativa: aumento de K_m aparente).

Passo 6

Cálculo de K_i assumindo inibição competitiva. Fórmula:
K_{m,\text{app}}=K_m\left(1+\frac{[I]}{K_i}\right)\quad\Rightarrow\quad K_i=\frac{[I]}{\dfrac{K_{m,\text{app}}}{K_m}-1}.
Substituindo [I]=1\\ \mathrm{g/L}, K_{m,\text{app}}\approx 15{,}9\\ \mathrm{g/L} e K_m=9{,}2\\ \mathrm{g/L}:
\frac{K_{m,\text{app}}}{K_m}\approx\frac{15{,}9}{9{,}2}\approx 1{,}728,
K_i\approx\frac{1}{1{,}728-1}=\frac{1}{0{,}728}\approx 1{,}37\\ \mathrm{g/L}.
Interpretação: K_i tem a mesma unidade da concentração do inibidor ( \mathrm{g/L}); um K_i em torno de 1{,}4\\ \mathrm{g/L} indica a afinidade do inibidor pela enzima (quanto menor K_i, maior afinidade).

Resposta

a) Inibidor competitivo.
b) K_i\approx 1{,}37\\ \mathrm{g/L}

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