Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o produto de uma função polinomial
e uma função exponencial
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Vou lembrar a fórmula e explicar por quê ela serve aqui.
A fórmula de integração por partes é
Explicando: escolhemos duas partes da integral,
e
. Calculamos
(derivada de
) e
(uma primitiva de
). Substituímos na fórmula para reduzir a integral original a outra, geralmente mais simples.
Motivação da escolha: quando temos produto de polinômio por exponencial, é boa ideia escolher
como o polinômio (porque ao derivar diminui a potência) e
como a exponencial (porque integrar exponencial é simples).
Passo 3
Escolho
Agora calculo
e
.
Derivando
:
Integro
para obter
. Usamos que, em geral,
porque a derivada de
é
(a constante
aparece pela regra da cadeia e cancela com
). Aqui
. Logo
Observação:
, então
.
Passo 4
Agora aplico a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Simplifico cada termo. O primeiro termo fica
O segundo termo é uma constante multiplicando uma integral:
Mas já sabemos a primitiva de
: é
. Portanto
Passo 6
Substituindo de volta, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora faço as simplificações numéricas:
e
. Então uma forma simplificada da primitiva é
Também posso fatorar
: