Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x e^{0,1 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{0,1 x}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de uma função polinomial x e uma função exponencial e^{0,1 x}. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Vou lembrar a fórmula e explicar por quê ela serve aqui.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando: escolhemos duas partes da integral, u e dv. Calculamos du (derivada de u) e v (uma primitiva de dv). Substituímos na fórmula para reduzir a integral original a outra, geralmente mais simples.
Motivação da escolha: quando temos produto de polinômio por exponencial, é boa ideia escolher u como o polinômio (porque ao derivar diminui a potência) e dv como a exponencial (porque integrar exponencial é simples).

Passo 3

Escolho
u = x,\qquad dv = e^{0,1 x}\,dx.
Agora calculo du e v.
Derivando u:
du = dx.
Integro dv para obter v. Usamos que, em geral,
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x},
porque a derivada de \frac{1}{a} e^{a x} é e^{a x} (a constante a aparece pela regra da cadeia e cancela com \frac{1}{a}). Aqui a=0,1. Logo
v = \int e^{0,1 x}\,dx = \frac{1}{0,1} e^{0,1 x}.
Observação: \frac{1}{0,1}=10, então v = 10 e^{0,1 x}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula de integração por partes:
\int x e^{0,1 x}\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{0,1 x}\,dx = x\cdot\frac{1}{0,1} e^{0,1 x} - \int \frac{1}{0,1} e^{0,1 x}\cdot dx.

Passo 5

Simplifico cada termo. O primeiro termo fica
x\cdot\frac{1}{0,1} e^{0,1 x} = \frac{1}{0,1}\,x\,e^{0,1 x}.
O segundo termo é uma constante multiplicando uma integral:
\int \frac{1}{0,1} e^{0,1 x}\,dx = \frac{1}{0,1}\int e^{0,1 x}\,dx.
Mas já sabemos a primitiva de e^{0,1 x}: é \frac{1}{0,1} e^{0,1 x}. Portanto
\frac{1}{0,1}\int e^{0,1 x}\,dx = \frac{1}{0,1}\cdot\frac{1}{0,1} e^{0,1 x} = \left(\frac{1}{0,1}\right)^2 e^{0,1 x}.

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos
\int x e^{0,1 x}\,dx = \frac{1}{0,1}\,x\,e^{0,1 x} - \left(\frac{1}{0,1}\right)^2 e^{0,1 x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora faço as simplificações numéricas: \frac{1}{0,1}=10 e \left(\frac{1}{0,1}\right)^2=100. Então uma forma simplificada da primitiva é
10 x e^{0,1 x} - 100 e^{0,1 x} + C.
Também posso fatorar 10 e^{0,1 x}:
10 e^{0,1 x}\bigl(x - 10\bigr) + C.

Resposta

10 x e^{0,1 x} - 100 e^{0,1 x} + C

Exercícios relacionados