Use a integração por partes para calcular a integral dada:
\int x e^{-x / 5} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int x e^{-x/5}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de x (um polinômio de grau 1) por e^{-x/5} (uma exponencial). O objetivo é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{-x/5}. O enunciado já indicou o método a usar (integração por partes).

Passo 2

Apresentando a fórmula de integração por partes e explicando o porquê dela existir. Partimos da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
\int \frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)\,dx=\int u'v\,dx+\int u v'\,dx.
O lado esquerdo é simplesmente u v, portanto isolando uma das integrais:
\int u v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
Essa é a fórmula de integração por partes. Aqui:
  • u é uma função escolhida entre as que aparecem no integrando,
  • v' (ou dv) é a outra parte multiplicativa cujo integral podemos calcular,
  • u' = du/dx e v é uma primitiva de v'.
    Em forma compacta escrevemos
\int u\,dv = u v - \int v\,du.

Passo 3

Escolha de u e dv. Uma regra prática (que ajuda muito na prova) é escolher u para que sua derivada seja mais simples que u. Aqui temos x (polinomial) e e^{-x/5} (exponencial). Se derivarmos x obtemos 1, bem simples. Portanto escolhemos:
u = x,\qquad dv = e^{-x/5}\,dx.
Consequentemente:
du = dx.

Passo 4

Precisamos encontrar v, isto é, uma primitiva de dv=e^{-x/5}\,dx. Calculamos
v=\int e^{-x/5}\,dx.
Para integrar e^{-x/5}, observe que a derivada de -x/5 é -1/5. Logo, uma primitiva é
v = -5 e^{-x/5},
pois diferenciando -5 e^{-x/5} obtemos -5)\cdot(-\tfrac{1}{5}) e^{-x/5}=e^{-x/5}. Ser constante multiplicativa de compensação é padrão ao integrar exponenciais com coeficiente linear no expoente.çãéã

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,dv = u v - \int v\,du com os valores escolhidos:
\int x e^{-x/5}\,dx = u v - \int v\,du = x\bigl(-5 e^{-x/5}\bigr) - \int \bigl(-5 e^{-x/5}\bigr)\,dx.
Simplificando os sinais:
\int x e^{-x/5}\,dx = -5x e^{-x/5} + 5\int e^{-x/5}\,dx.

Passo 6

Já calculamos \int e^{-x/5}\,dx no Passo 4: é -5 e^{-x/5}. Substituindo:
\int x e^{-x/5}\,dx = -5x e^{-x/5} + 5\bigl(-5 e^{-x/5}\bigr).
Fazendo a multiplicação:
\int x e^{-x/5}\,dx = -5x e^{-x/5} -25 e^{-x/5}.

Passo 7

Podemos fatorar um termo comum para ficar mais elegante e mostrar a estrutura:
\int x e^{-x/5}\,dx = -5 e^{-x/5}\bigl(x+5\bigr) + C,
onde C é a constante de integração. Para ter certeza rápida: se derivarmos -5 e^{-x/5}(x+5) usando a regra do produto e a cadeia, recuperamos x e^{-x/5}, então está correto.

Resposta

-5 e^{-x/5}\bigl(x+5\bigr)+C

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