Use a integração por partes para calcular a integral dada:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
(um polinômio de grau 1) por
(uma exponencial). O objetivo é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. O enunciado já indicou o método a usar (integração por partes).
Passo 2
Apresentando a fórmula de integração por partes e explicando o porquê dela existir. Partimos da regra do produto para derivadas:
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
O lado esquerdo é simplesmente
, portanto isolando uma das integrais:
Essa é a fórmula de integração por partes. Aqui:
-
é uma função escolhida entre as que aparecem no integrando, -
(ou ) é a outra parte multiplicativa cujo integral podemos calcular, -
e é uma primitiva de .
Em forma compacta escrevemos
Passo 3
Escolha de
e
. Uma regra prática (que ajuda muito na prova) é escolher
para que sua derivada seja mais simples que
. Aqui temos
(polinomial) e
(exponencial). Se derivarmos
obtemos
, bem simples. Portanto escolhemos:
Consequentemente:
Passo 4
Precisamos encontrar
, isto é, uma primitiva de
. Calculamos
Para integrar
, observe que a derivada de
é
. Logo, uma primitiva é
pois diferenciando
obtemos
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes
com os valores escolhidos:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Já calculamos
no Passo 4: é
. Substituindo:
Fazendo a multiplicação:
Passo 7
Podemos fatorar um termo comum para ficar mais elegante e mostrar a estrutura:
onde
é a constante de integração. Para ter certeza rápida: se derivarmos
usando a regra do produto e a cadeia, recuperamos
, então está correto.