Usando ondas planas na forma de fasores em meios lineares isotrópicos sem cargas ou correntes livres, prove a existência de polarização circular. Considere uma onda plana monocromática e mostre que, com componentes de \overrightarrow{E_{0}} defasadas em \pi / 2 e com amplitudes iguais, o campo elétrico traça uma trajetória circular no plano perpendicular à direção de propagação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em um meio linear, isotrópico, sem cargas livres nem correntes livres, que uma onda plana monocromática cujas componentes do vetor de amplitude \overrightarrow{E_{0}} têm amplitudes iguais e defasagem de \pi/2 produz um campo elétrico cuja ponta descreve um círculo no plano transversal à direção de propagação. Para isso vamos usar a representação em fasores e, em seguida, extrair a parte real para ver a evolução temporal do campo.

Passo 2

Em meios lineares isotrópicos sem fontes, uma solução para o campo elétrico é a onda plana monocromática em fasor
\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r})=\mathbf{E_{0}}\;e^{-j k z},
onde k é o número de onda e assumimos propagação ao longo de +\hat{\mathbf{z}}. O campo no tempo real é
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\Re\bigl\{\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r})\,e^{j\omega t}\bigr\} =\Re\{\mathbf{E_{0}}\,e^{j(\omega t - k z)}\}.

Passo 3

Escolhemos um sistema ortonormal \{\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}\} e definimos
\mathbf{E_{0}}=E_{0}\bigl(\hat{\mathbf{x}}+j\,\hat{\mathbf{y}}\bigr),
com E_{0}>0. Aqui a componente em \hat{\mathbf{y}} está defasada de +\pi/2 em relação à componente em \hat{\mathbf{x}} e ambas têm mesma amplitude \,E_{0}.

Passo 4

Substituindo em \mathbf{E}(\mathbf{r},t) obtemos
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) =\Re\Bigl\{E_{0}\bigl(\hat{\mathbf{x}}+j\,\hat{\mathbf{y}}\bigr)\,e^{j(\omega t - kz)}\Bigr\}.
Distribuindo o exponencial,
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) =E_{0}\Re\Bigl\{\hat{\mathbf{x}}\,e^{j\varphi}+j\,\hat{\mathbf{y}}\,e^{j\varphi}\Bigr\}, \quad\varphi=\omega t - kz.
Como \Re\{e^{j\varphi}\}=\cos\varphi e \Re\{j\,e^{j\varphi}\}=-\sin\varphi, temos
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) =E_{0}\bigl(\hat{\mathbf{x}}\cos\varphi+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi\bigr).

Passo 5

As componentes cartesianas são
E_x=E_{0}\cos(\omega t - kz), \quad E_y=E_{0}\sin(\omega t - kz).
Calculando o módulo no plano xy:
E_x^2+E_y^2 =E_{0}^2\bigl(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi\bigr) =E_{0}^2,
ou seja, a magnitude do vetor \mathbf{E} é constante e sua ponta descreve um movimento circular uniforme em torno da origem no plano perpendicular a \hat{\mathbf{z}}.

Resposta

Mostramos que, para \mathbf{E_{0}}=E_{0}(\hat{\mathbf{x}}+j\hat{\mathbf{y}}), o campo elétrico real é
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) =E_{0}\bigl(\hat{\mathbf{x}}\cos(\omega t - kz)+\hat{\mathbf{y}}\sin(\omega t - kz)\bigr),
cuja ponta descreve um círculo de raio E_{0} no plano perpendicular a \hat{\mathbf{z}}. Isso caracteriza polarização circular.

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