Usando ondas planas na forma de fasores em meios lineares isotrópicos sem cargas ou correntes livres, prove a existência de polarização linear. Considere uma onda plana monocromática da forma \vec{E}(\vec{r}, t)=\Re\left\{\vec{E}_{0} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)}\right\} e mostre que, para componentes reais de \overrightarrow{E_{0}} alinhadas, o campo elétrico oscila em uma direção fixa (polarização linear).

Passo 1

O enunciado considera uma onda plana monocromática em meio linear isotrópico sem fontes, dada por
\vec{E}(\vec{r},t)=\Re\bigl\{\vec{E}_{0}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\bigr\}.
Aqui \vec{E}_{0} é um vetor complexo arbitrário e definiremos suas partes real e imaginária por
\vec{E}_{1}=\Re\{\vec{E}_{0}\},\quad \vec{E}_{2}=\Im\{\vec{E}_{0}\}.
Nosso objetivo é mostrar que, se \vec{E}_{1} e \vec{E}_{2} forem colineares, o campo real oscila sempre numa direção fixa (polarização linear).

Passo 2

Escrevemos o argumento de fase
\varphi(\vec{r},t)=\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t
e expandimos
\vec{E}(\vec{r},t) =\Re\bigl\{(\vec{E}_{1}+i\vec{E}_{2})\,e^{i\varphi}\bigr\} =\vec{E}_{1}\cos\varphi\;-\;\vec{E}_{2}\sin\varphi.

Passo 3

Para que o vetor \vec{E}(\vec{r},t) oscile sempre na mesma direção, é preciso que \vec{E}_{1} e \vec{E}_{2} sejam paralelos. Escrevemos então
\vec{E}_{1}=\alpha\,\hat{e},\quad \vec{E}_{2}=\beta\,\hat{e},
onde \hat{e} é um vetor unitário fixo e \alpha,\beta são escalares reais.

Passo 4

Substituindo na expressão de \vec{E}(\vec{r},t) obtemos
\vec{E}(\vec{r},t) =(\alpha\cos\varphi-\beta\sin\varphi)\,\hat{e}.
Agora note que \alpha\cos\varphi-\beta\sin\varphi pode ser reescrito como
A\cos(\varphi+\delta), \quad \text{com } A=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}, \quad \delta=\arctan\!\bigl(\tfrac{\beta}{\alpha}\bigr).
Logo
\vec{E}(\vec{r},t)=A\cos\bigl(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\bigr)\,\hat{e}.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(\vec{r},t)=A\cos\bigl(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta\bigr)\,\hat{e},
i.e.\ o campo elétrico oscila sempre na direção fixa \hat{e}, caracterizando polarização linear.

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