Inicialmente, 3 g de sódio são dissolvidos em um recipiente com 6 l de água. Uma solução sódica passa a ser bombeada para dentro do recipiente a uma taxa de 0,5 l por minuto, sendo que depois de ser bem misturada é drenada na mesma taxa. Considerando-se Q(t) a quantidade de sal após t minutos segue que
Q^prime(t)=Te-Ts,
onde Te e Ts denotam, respectivamente, as taxas de entrada e saída de sal.
(c) Faça substituição t=12 z para encontrar uma primitiva de e^t / 12. Conclua da equação acima que
Q(t)=C e^-t / 12+12

Passo 1

O enunciado leva à equação diferencial linear de primeira ordem
Q'(t)=1-Q(t)12,
onde identificamos taxa de entrada Te=1 e taxa de saída Ts=tfracQ12. Para resolvê-la, usaremos o método do fator integrante, que exige a primitiva de e^t/12.

Passo 2

Para encontrar
integral e^t/12,dt
fazemos a substituição t=12z, daí dt=12,dz e e^t/12=e^z. Logo,
integral e^t/12,dt =integral e^z,(12,dz) =12e^z+C =12e^t/12+C

Passo 3

Voltando à EDO, multiplicamos ambos os lados por e^t/12:
e^t/12Q'(t)+112e^t/12Q(t) =e^t/12
O lado esquerdo é exatamente a derivada
ddtl(e^t/12Q(t)r) ;=;e^t/12
Integrando em t e usando o resultado do Passo 2, obtemos
e^t/12Q(t) =12e^t/12+C Longrightarrow Q(t)=12+Ce^-t/12

Resposta

Q(t)=C e^-t/12+12

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