Inicialmente, 3 g de sódio são dissolvidos em um recipiente com 6 l de água. Uma solução sódica passa a ser bombeada para dentro do recipiente a uma taxa de 0,5 l por minuto, sendo que depois de ser bem misturada é drenada na mesma taxa. Considerando-se Q(t) a quantidade de sal após t minutos segue que
Q^prime(t)=Te-Ts,
onde Te e Ts denotam, respectivamente, as taxas de entrada e saída de sal.
(e) Encontre a quantidade de sal no recipiente após um longo tempo.

Passo 1

O enunciado nos informa que inicialmente há 3 g de sal dissolvidos em 6 L de água e que uma solução salina de concentração desconhecida Ce (em g/L) entra à taxa de 0,5 L/min, com saída na mesma vazão após mistura completa. O volume permanece constante em 6 L. Vamos modelar a quantidade de sal Q(t) em função do tempo e buscar o valor limite limttoinftyQ(t).

Passo 2

A taxa de entrada de sal é
Te = (taxa de fluxo de entrada) times (concentração de entrada) = 0,5 times Ce çã
A taxa de saída de sal é a vazão de saída vezes a concentração na própria solução:
Ts = 0,5 times Q(t)6
Logo a equação diferencial é
Q'(t) = Te - Ts = 0,5,Ce - 0,5,Q(t)6

Passo 3

Reescrevendo a ODE em forma padrão:
Q'(t) + 0,56,Q(t) = 0,5,Ce
Trata-se de uma equação linear de coeficiente constante. O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral tfrac0,56,dtr) = e^tfrac0,56t
Multiplicando tudo por mu(t) e integrando, obtemos a solução geral.

Passo 4

A solução geral resulta em
Q(t) = K,e^-tfrac0,56t + 6,Ce,
onde K é constante determinada pela condição inicial Q(0)=3. O termo 6,Ce é a solução particular constante, isto é, o ponto de equilíbrio.

Passo 5

Para um tempo muito grande (ttoinfty) o termo exponencial decay a zero e sobra apenas
limttoinftyQ(t) = 6,Ce

Resposta

Q(infty)=6,Ce, sendo Ce a concentração da solução que entra.

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