Inicialmente,
de sódio são dissolvidos em um recipiente com
de água. Uma solução sódica passa a ser bombeada para dentro do recipiente a uma taxa de
por minuto, sendo que depois de ser bem misturada é drenada na mesma taxa. Considerando-se
a quantidade de sal após
minutos segue que
onde
e
denotam, respectivamente, as taxas de entrada e saída de sal.
(e) Encontre a quantidade de sal no recipiente após um longo tempo.
(e) Encontre a quantidade de sal no recipiente após um longo tempo.
Passo 1
O enunciado nos informa que inicialmente há
g de sal dissolvidos em
L de água e que uma solução salina de concentração desconhecida
(em g/L) entra à taxa de
L/min, com saída na mesma vazão após mistura completa. O volume permanece constante em
L. Vamos modelar a quantidade de sal
em função do tempo e buscar o valor limite
.
Passo 2
A taxa de entrada de sal é
A taxa de saída de sal é a vazão de saída vezes a concentração na própria solução:
Logo a equação diferencial é
Passo 3
Reescrevendo a ODE em forma padrão:
Trata-se de uma equação linear de coeficiente constante. O fator integrante é
Multiplicando tudo por
e integrando, obtemos a solução geral.
Passo 4
A solução geral resulta em
onde
é constante determinada pela condição inicial
. O termo
é a solução particular constante, isto é, o ponto de equilíbrio.
Passo 5
Para um tempo muito grande
o termo exponencial decay a zero e sobra apenas