Questão 4. (2.5 pontos) Calcule a integral de linha da função vetorial \vec{F}(x, y)=\left(x, \frac{x^{2}}{2}+\operatorname{sen}\left(\operatorname{sen}\left(y^{2}\right)\right)\right) sobre a curva C dada pelo grafico da função y=\operatorname{sen} x no intervalo 0 \leq x \leq 2 \pi, orientada no sentido do crescimento de x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_C\vec F\cdot d\vec r
onde
\vec F(x,y)=\Bigl(x,\;\tfrac{x^2}{2}+\sin\bigl(\sin(y^2)\bigr)\Bigr)
e C é o gráfico de y=\sin x para 0\le x\le2\pi, orientado no sentido de crescimento de x. Vamos parametrizar C e usar a definição
\int_C P\,dx+Q\,dy
com P(x,y)=x e Q(x,y)=\tfrac{x^2}{2}+\sin\bigl(\sin(y^2)\bigr).

Passo 2

Parametrização:
\vec r(x)=\bigl(x,\sin x\bigr),\quad x\in[0,2\pi].
Logo
dx=dx,\quad dy=\cos x\,dx.
A integral fica
\int_0^{2\pi}\Bigl[x\;+\;\Bigl(\tfrac{x^2}{2}+\sin\bigl(\sin(y^2)\bigr)\Bigr)\cos x\Bigr]dx.

Passo 3

Separemos em três integrais:
I_1=\int_0^{2\pi}x\,dx,\quad I_2=\int_0^{2\pi}\frac{x^2}{2}\cos x\,dx,\quad I_3=\int_0^{2\pi}\sin\bigl(\sin(y^2)\bigr)\cos x\,dx.

Passo 4

Calcular I_1:
I_1=\int_0^{2\pi}x\,dx =\bigl[\tfrac{x^2}{2}\bigr]_0^{2\pi} =\tfrac{(2\pi)^2}{2} =2\pi^2.

Passo 5

Calcular I_2 por partes. Seja u=\tfrac{x^2}{2}, dv=\cos x\,dx. Então du=x\,dx, v=\sin x.
I_2=\Bigl.\tfrac{x^2}{2}\sin x\Bigr|_0^{2\pi} -\int_0^{2\pi}x\sin x\,dx =0-\int_0^{2\pi}x\sin x\,dx.
Agora \int x\sin x\,dx por partes u=x, dv=\sin x\,dx
\int_0^{2\pi}x\sin x\,dx =\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]_0^{2\pi} =-2\pi.
Logo
I_2=-\bigl(-2\pi\bigr)=2\pi.

Passo 6

Calcular I_3 por substituição u=\sin x, du=\cos x\,dx. Como \sin0=\sin(2\pi)=0,
I_3=\int_0^{2\pi}\sin\!\bigl(\sin(y^2)\bigr)\cos x\,dx =\int_{u=0}^{0}\sin\!\bigl(\sin(u^2)\bigr)\,du =0.

Passo 7

Somando tudo:
\int_C\vec F\cdot d\vec r =I_1+I_2+I_3 =2\pi^2+2\pi+0 =2\pi^2+2\pi.

Resposta

2\pi^2+2\pi

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