Se T é injetora e sobrejetora, qual é a dimensão de V ?

Passo 1

O enunciado fala de uma transformação linear
que é simultaneamente injetora e sobrejetora.
O conteúdo da matéria que vamos usar é o Teorema do Posto e da Nulidade, que relaciona a dimensão do domínio com o posto (rank) e a nulidade (nullity) de :

Passo 2

Como é injetora, seu núcleo é trivial, ou seja

Passo 3

Substituindo no Teorema do Posto e da Nulidade, obtemos

Passo 4

Como é sobrejetora, sua imagem é todo o espaço , daí

Passo 5

Comparando os resultados dos passos 3 e 4, concluímos

Resposta

dim V = dim W.

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