Se
é injetora e sobrejetora, qual é a dimensão de
?
Passo 1
O enunciado fala de uma transformação linear
que é simultaneamente injetora e sobrejetora.
O conteúdo da matéria que vamos usar é o Teorema do Posto e da Nulidade, que relaciona a dimensão do domínio com o posto (rank) e a nulidade (nullity) de
:
O conteúdo da matéria que vamos usar é o Teorema do Posto e da Nulidade, que relaciona a dimensão do domínio
Passo 2
Como
é injetora, seu núcleo é trivial, ou seja
Passo 3
Substituindo no Teorema do Posto e da Nulidade, obtemos
Passo 4
Como
é sobrejetora, sua imagem é todo o espaço
, daí
Passo 5
Comparando os resultados dos passos 3 e 4, concluímos