Seja
uma transformação linear dada por
. Se a imagem de uma reta
é um ponto então quais são as equações paramétricas da reta
?
Passo 1
O enunciado define
por
e pede todas as retas
tais que
seja um ponto. Isto envolve avaliar a imagem de uma reta sob uma transformação linear e usar a ideia de núcleo de
.
Passo 2
Seja
a reta dada em forma paramétrica por
Então
Para que isso seja sempre o mesmo ponto (independente de
), é necessário e suficiente que
ou seja, o vetor direção
pertence ao núcleo de
.
Passo 3
Calculamos o núcleo de
:
Logo qualquer vetor direção que anule
tem a forma
com
.
Passo 4
Assim as retas que colapsam em ponto são exatamente aquelas paralelas ao eixo
, com equação paramétrica
Reescrevendo, as equações são
Tomando
(reparametrização), fica
Resposta
As retas cujas imagens sob
são pontos são exatamente as de direção
, ou seja,
com
fixos e
.