Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada por T(x, y, z)= (x, y, 0). Se a imagem de uma reta r é um ponto então quais são as equações paramétricas da reta r ?

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (x,y,0)
e pede todas as retas r tais que T(r) seja um ponto. Isto envolve avaliar a imagem de uma reta sob uma transformação linear e usar a ideia de núcleo de T.

Passo 2

Seja r a reta dada em forma paramétrica por
rcolon (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t,(v1,v2,v3)
Então
Tl((x0,y0,z0) + t,(v1,v2,v3)r) = T(x0,y0,z0) + t,T(v1,v2,v3)
Para que isso seja sempre o mesmo ponto (independente de t), é necessário e suficiente que
T(v1,v2,v3) = (0,0,0),
ou seja, o vetor direção (v1,v2,v3) pertence ao núcleo de T.

Passo 3

Calculamos o núcleo de T:
ker T = (x,y,z)mid T(x,y,z)=(x,y,0)=(0,0,0) = (0,0,z)mid zinR
Logo qualquer vetor direção que anule T tem a forma (0,0,v3) com v3neq 0.

Passo 4

Assim as retas que colapsam em ponto são exatamente aquelas paralelas ao eixo z, com equação paramétrica
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + t,(0,0,v3), v3neq 0
Reescrevendo, as equações são
x = x0, y = y0, z = z0 + v3,t
Tomando v3=1 (reparametrização), fica
x = x0, y = y0, z = z0 + t

Resposta

As retas cujas imagens sob T são pontos são exatamente as de direção (0,0,1), ou seja,
x = x0, y = y0, z = z0 + t,
com x0,y0,z0 fixos e tinR.

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