(1, 0) Sendo z=x^2+3 y^2, com x=x(t)=2 t^2+1, y=y(t)=5 t^3, use a Regra da Cadeia para calcular d zd t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo diferencial. A ideia é encontrar a derivada de z em relação a t , ou seja, dzdt , sabendo que z depende de x e y , que por sua vez dependem de t . Então, vamos precisar entender como derivadas compostas funcionam para ligar essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função que a gente tem:
z = x^2 + 3y^2
E sabemos que x e y são funções de t :
x(t) = 2t^2 + 1
y(t) = 5t^3
Queremos encontrar dzdt , a derivada de z em relação a t .

Passo 3

Para isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que se uma função z depende de x e y , e x e y dependem de t , então a derivada de z em relação a t é:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y , e também as derivadas de x e y em relação a t .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, a derivada parcial de z em relação a x :
partial zpartial x = 2x
Depois, a derivada parcial de z em relação a y :
partial zpartial y = 6y
Agora, vamos derivar x(t) em relação a t :
dxdt = ddt(2t^2 + 1) = 4t
E derivar y(t) em relação a t :
dydt = ddt(5t^3) = 15t^2

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
dzdt = (2x) cdot (4t) + (6y) cdot (15t^2)
Simplificando:
dzdt = 8xt + 90yt^2

Passo 6

Agora, precisamos substituir x(t) e y(t) nas expressões. Sabemos que:
x(t) = 2t^2 + 1
y(t) = 5t^3
Substituindo na expressão de dzdt :
dzdt = 8(2t^2 + 1)t + 90(5t^3)t^2

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
8(2t^2 + 1)t = 8 cdot 2t^3 + 8 cdot t = 16t^3 + 8t
Segundo termo:
90(5t^3)t^2 = 90 cdot 5t^5 = 450t^5

Passo 8

Agora, juntando tudo:
dzdt = 16t^3 + 8t + 450t^5
Podemos reorganizar em ordem decrescente dos expoentes:
dzdt = 450t^5 + 16t^3 + 8t

Resposta

A derivada de z em relação a t é:
dzdt = 450t^5 + 16t^3 + 8t

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