Sendo
com
, use a Regra da Cadeia para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo diferencial. A ideia é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, sabendo que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Então, vamos precisar entender como derivadas compostas funcionam para ligar essas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função que a gente tem:
E sabemos que
e
são funções de
:
Queremos encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que se uma função
depende de
e
, e
e
dependem de
, então a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Depois, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
E derivar
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos substituir
e
nas expressões. Sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Podemos reorganizar em ordem decrescente dos expoentes:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: