A inspeção de uma amostra de n componentes pode ser vista como os n ensaios de um experimento binomial. O resultado de cada componente testado (ensaio) indicará que ele é classificado como um componente bom ou defeituoso. Suponha que você tenha uma empresa, e esta aceita apenas lotes de determinado fornecedor se os componentes defeituosos de um lote não ultrapassarem 1%. Suponha que uma amostra aleatória de 5 itens de uma remessa recente seja testada.
Suponha que 1% da remessa apresente defeitos. Calcule a probabilidade de exatamente um item da amostra estar com defeito. (valor 0,5 ponto)

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre inspecionar uma amostra de 5 componentes para verificar defeitos. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, especificamente a distribuição binomial. Precisamos calcular a chance de exatamente um dos itens estar com defeito, sabendo que a probabilidade de defeito em cada componente é de 1%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (no caso, 5 inspeções), cada uma com dois resultados possíveis: sucesso (com defeito) ou fracasso (sem defeito). A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é a combinação de n elementos tomados k a k,
  • p é a probabilidade de sucesso (defeito),
  • 1 - p é a probabilidade de fracasso (sem defeito).

Passo 3

Vamos aplicar os valores do exercício na fórmula:
  • n = 5 (total de componentes),
  • k = 1 (exatamente um defeito),
  • p = 0,01 (1% de defeito).
Primeiro, calculamos a combinação:
binom51 = 5
Agora, aplicamos na fórmula:
P(X = 1) = 5 cdot (0,01)^1 cdot (0,99)^4
Calculando cada parte:
(0,01)^1 = 0,01
(0,99)^4 approx 0,9606
Multiplicando tudo:
P(X = 1) = 5 cdot 0,01 cdot 0,9606 approx 0,048

Resposta

A probabilidade de exatamente um item da amostra estar com defeito é aproximadamente 0,048 ou 4,8%.

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