Suponha a seguinte situação:
Uma pesquisa liderada pela sua empresa perguntou a 131 gerentes de investimentos de várias partes dos Brasil a respeito de suas previsões de investimento em curto prazo. Suas respostas mostraram que 4% eram muito otimistas, 39% eram otimistas, 29% eram neutros, 21% eram pessimistas e 7% eram muito pessimistas. Seja x a variável aleatória que reflete o nível de otimismo em relação ao mercado. Estabeleça x=5 para os muito otimistas e x=1 para os muito pessimistas.
Calcule o valor esperado do nível de otimismo. (valor 0,5 ponto).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pesquisa com 131 gerentes de investimentos que responderam sobre seu nível de otimismo em relação ao mercado. As respostas foram distribuídas em categorias que variam de “muito pessimistas” a “muito otimistas”. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do valor esperado, que é uma maneira de encontrar a média ponderada dos diferentes níveis de otimismo com base nas porcentagens de cada categoria. Para resolver isso, vamos precisar relacionar cada categoria a um valor numérico e então calcular a média ponderada usando essas porcentagens.

Passo 2

Vamos começar atribuindo valores numéricos a cada nível de otimismo. Segundo o enunciado:
  • Muito pessimistas: $ x = 1 $
  • Pessimistas: $ x = 2 $
  • Neutros: $ x = 3 $
  • Otimistas: $ x = 4 $
  • Muito otimistas: $ x = 5 $
Esses valores nos ajudarão a quantificar o nível de otimismo de cada categoria.

Passo 3

Agora, vamos anotar as porcentagens de cada categoria:
  • Muito otimistas: 4%
  • Otimistas: 39%
  • Neutros: 29%
  • Pessimistas: 21%
  • Muito pessimistas: 7%
Essas porcentagens representam a proporção de gerentes em cada categoria.

Passo 4

O valor esperado $ E[x] $ é calculado multiplicando cada valor de $ x $ pela sua respectiva probabilidade (nesse caso, a porcentagem) e somando todos esses produtos. A fórmula fica assim:
E[x]

Passo 5

Aplicando essa fórmula aos nossos dados:
E[x] = (5 times 0,04) + (4 times 0,39) + (3 times 0,29) + (2 times 0,21) + (1 times 0,07)
Aqui, transformamos as porcentagens em decimais dividindo por 100.

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
  • $ 5 \times 0{,}04 = 0{,}20 $
  • $ 4 \times 0{,}39 = 1{,}56 $
  • $ 3 \times 0{,}29 = 0{,}87 $
  • $ 2 \times 0{,}21 = 0{,}42 $
  • $ 1 \times 0{,}07 = 0{,}07 $

Passo 7

Agora, somamos todos esses resultados para encontrar o valor esperado:
E[x] = 0,20 + 1,56 + 0,87 + 0,42 + 0,07 = 3,12

Resposta

O valor esperado do nível de otimismo é $ 3{,}12 $.

Exercícios relacionados