A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é 0,20 . Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrá-lo aberto pela
vez?
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade de um sinal de trânsito estar aberto em uma esquina, que é de 0,20. Queremos descobrir qual a probabilidade de precisar passar pelo local 10 vezes para encontrar o sinal aberto pela 4ª vez. Isso envolve conceitos de probabilidade, mais especificamente da distribuição binomial negativa, que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de tentativas ser necessário para alcançar um número específico de sucessos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “passar pelo local 10 vezes para encontrar o sinal aberto pela 4ª vez”. Isso quer dizer que nas primeiras 9 vezes, o sinal abriu 3 vezes, e na 10ª vez, abriu pela 4ª vez. Para calcular isso, usamos a fórmula da distribuição binomial negativa:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de o 4º sucesso ocorrer na $ k $-ésima tentativa.
- $ \binom{k-1}{r-1} $ é o número de combinações de $ k-1 $ tentativas com $ r-1 $ sucessos.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso (0,20).
- $ r $ é o número de sucessos desejados (4).
- $ k $ é o número total de tentativas (10).
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
- Número de combinações:
- Probabilidade dos sucessos:
- Probabilidade das falhas:
Passo 5
Agora, multiplicamos todos os valores:
Resposta
A probabilidade de precisar passar pelo local 10 vezes para encontrar o sinal aberto pela 4ª vez é aproximadamente 3,53%.