A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é 0,20 . Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrá-lo aberto pela 4^a vez?

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre a probabilidade de um sinal de trânsito estar aberto em uma esquina, que é de 0,20. Queremos descobrir qual a probabilidade de precisar passar pelo local 10 vezes para encontrar o sinal aberto pela 4ª vez. Isso envolve conceitos de probabilidade, mais especificamente da distribuição binomial negativa, que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de tentativas ser necessário para alcançar um número específico de sucessos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “passar pelo local 10 vezes para encontrar o sinal aberto pela 4ª vez”. Isso quer dizer que nas primeiras 9 vezes, o sinal abriu 3 vezes, e na 10ª vez, abriu pela 4ª vez. Para calcular isso, usamos a fórmula da distribuição binomial negativa:
P(X = k) = binomk-1r-1 cdot p^r cdot (1-p)^k-r
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de o 4º sucesso ocorrer na $ k $-ésima tentativa.
  • $ \binom{k-1}{r-1} $ é o número de combinações de $ k-1 $ tentativas com $ r-1 $ sucessos.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso (0,20).
  • $ r $ é o número de sucessos desejados (4).
  • $ k $ é o número total de tentativas (10).

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
P(X = 10) = binom10-14-1 cdot (0,20)^4 cdot (1-0,20)^10-4
Isso simplifica para:
P(X = 10) = binom93 cdot (0,20)^4 cdot (0,80)^6

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Número de combinações:
binom93 = 9!3! cdot (9-3)! = 84
  1. Probabilidade dos sucessos:
(0,20)^4 = 0,0016
  1. Probabilidade das falhas:
(0,80)^6 = 0,262144

Passo 5

Agora, multiplicamos todos os valores:
P(X = 10) = 84 cdot 0,0016 cdot 0,262144
P(X = 10) = 84 cdot 0,0004194304
P(X = 10) approx 0,0353

Resposta

A probabilidade de precisar passar pelo local 10 vezes para encontrar o sinal aberto pela 4ª vez é aproximadamente 3,53%.

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