1. INSPIRADO NO STEWART (Mecânica de Fluidos Dinâmica) Um tanque de armazenamento possui a forma geométrica de um parabolóide de revolução, gerado pela rotação da curva y=x^{2} (com x e y em metros) em torno do eixo vertical \boldsymbol{y}. O tanque está sendo preenchido com um óleo lubrificante de alta viscosidade a uma taxa constante de \mathbf{0 , 5} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{/} \mathbf{m i n}. Encontre a taxa com que o nível do fluido está subindo no exato instante em que a profundidade do óleo for de 2 metros. (Dica: O volume de um parabolóide de altura h é dado por V=1 / 2 \pi r^{2} h ).

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da altura do óleo no instante em que a profundidade é 2 metros, sabendo que o volume está aumentando a uma taxa constante de 0,5\\ \text{m}^3\!/\text{min}. Informações dadas e coisas importantes a anotar:
  • A superfície geradora é a curva y=x^{2} (unidades em metros), que é girada em torno do eixo vertical y.
  • A taxa de enchimento do tanque (variação do volume) é \dfrac{dV}{dt}=0,5\\ \text{m}^3\!/\text{min}.
  • Precisamos encontrar \dfrac{dh}{dt} no instante em que h=2\\ \text{m}.
  • Dica / fórmula fornecida: o volume de um parabolóide de altura h e raio superior r é
V=\tfrac{1}{2}\,\pi r^{2} h.
A partir do enunciado, a geometria da superfície relaciona a altura h com o raio r na boca do fluido; isso será usado para eliminar r e obter V em função de h apenas.

Passo 2

Entender a relação entre r e h (geometria do sólido).
  • A curva geradora é y=x^{2}. Ao girar em torno do eixo y, um ponto com coordenada y gera um círculo de raio x.
  • Para um nível de fluido de altura h, temos y=h. Da equação y=x^{2} obtemos
x=\sqrt{y},
portanto, no nível h o raio da superfície é
r=\sqrt{h}.
Explicando devagar: x é a distância radial do eixo para a superfície; como y=x^{2}, inverter dá x=\sqrt{y}. Substituindo y=h r=\sqrt{h}.

Passo 3

Substituir r na fórmula do volume para obter V em função de h apenas.
  • Começamos da fórmula dada:
V=\tfrac{1}{2}\,\pi r^{2} h.
  • Como r=\sqrt{h}, então r^{2}=h. Substituindo:
V=\tfrac{1}{2}\,\pi \cdot h \cdot h = \tfrac{1}{2}\,\pi h^{2}.
Logo, a relação simplificada entre volume e altura é
V=\tfrac{\pi}{2}\,h^{2}.

Passo 4

Diferenciar em relação ao tempo t para relacionar \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dh}{dt}.
  • Explicação das regras usadas: quando diferenciamos uma função composta V(h(t)) em relação a t, usamos a regra da cadeia. A derivada de h^{2} em relação a t é 2h\cdot \dfrac{dh}{dt} (regra do poder + cadeia).
  • Aplicando a derivação na expressão \displaystyle V=\tfrac{\pi}{2}\,h^{2} obtemos
\frac{dV}{dt}=\tfrac{\pi}{2}\cdot 2h\cdot\frac{dh}{dt}.
  • Simplificando os 2's:
\frac{dV}{dt}=\pi h\frac{dh}{dt}.
Aqui: \dfrac{dV}{dt} é a taxa de variação do volume (m³/min), h é a altura (m) e \dfrac{dh}{dt} é a taxa de subida do nível (m/min) que queremos.

Passo 5

Isolar \dfrac{dh}{dt} e substituir os valores numéricos no instante pedido.
  • Isolando:
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\pi h}\,\frac{dV}{dt}.
  • Substituindo \dfrac{dV}{dt}=0,5\\ \text{m}^3\!/\text{min} e h=2\\ \text{m}:
\frac{dh}{dt}=\frac{0,5}{\pi\cdot 2}=\frac{0,5}{2\pi}=\frac{1}{4\pi}\\ \text{m/min}.
  • Valor aproximado (para intuição numérica):
\frac{1}{4\pi}\approx 0,07958\\ \text{m/min}.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova.
  • Resultado exato e compacto é \dfrac{1}{4\pi}\\ \text{m/min}. Em provas, prefira deixar a resposta exata quando possível; se pedirem aproximação, use \approx 0,0796\\ \text{m/min}.
  • Dica prática: sempre procure eliminar variáveis geométricas (aqui r) escrevendo-as em função da variável que realmente muda (aqui h), depois diferencie aplicando a regra da cadeia — esse padrão aparece muito em problemas de vazão/nível.

Resposta

\dfrac{1}{4\pi}\\ \text{m/min}
\approx 0,07958\\ \text{m/min}

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