- INSPIRADO NO STEWART (Mecânica de Fluidos Dinâmica) Um tanque de armazenamento possui a forma geométrica de um parabolóide de revolução, gerado pela rotação da curva
(com
e
em metros) em torno do eixo vertical
. O tanque está sendo preenchido com um óleo lubrificante de alta viscosidade a uma taxa constante de
. Encontre a taxa com que o nível do fluido está subindo no exato instante em que a profundidade do óleo for de 2 metros. (Dica: O volume de um parabolóide de altura
é dado por
).
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação da altura do óleo no instante em que a profundidade é
metros, sabendo que o volume está aumentando a uma taxa constante de
. Informações dadas e coisas importantes a anotar:
- A superfície geradora é a curva
(unidades em metros), que é girada em torno do eixo vertical . - A taxa de enchimento do tanque (variação do volume) é
. - Precisamos encontrar
no instante em que . - Dica / fórmula fornecida: o volume de um parabolóide de altura
e raio superior é
A partir do enunciado, a geometria da superfície relaciona a altura
com o raio
na boca do fluido; isso será usado para eliminar
e obter
em função de
apenas.
Passo 2
Entender a relação entre
e
(geometria do sólido).
- A curva geradora é
. Ao girar em torno do eixo , um ponto com coordenada gera um círculo de raio . - Para um nível de fluido de altura
, temos . Da equação obtemos
portanto, no nível
o raio da superfície é
Explicando devagar:
é a distância radial do eixo para a superfície; como
, inverter dá
. Substituindo
dá
.
Passo 3
Substituir
na fórmula do volume para obter
em função de
apenas.
- Começamos da fórmula dada:
- Como
, então . Substituindo:
Logo, a relação simplificada entre volume e altura é
Passo 4
Diferenciar em relação ao tempo
para relacionar
e
.
- Explicação das regras usadas: quando diferenciamos uma função composta
em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é (regra do poder + cadeia). - Aplicando a derivação na expressão
obtemos
- Simplificando os
's:
Aqui:
é a taxa de variação do volume (m³/min),
é a altura (m) e
é a taxa de subida do nível (m/min) que queremos.
Passo 5
Isolar
e substituir os valores numéricos no instante pedido.
- Isolando:
- Substituindo
e :
- Valor aproximado (para intuição numérica):
Passo 6
Interpretação final e dica para prova.
- Resultado exato e compacto é
. Em provas, prefira deixar a resposta exata quando possível; se pedirem aproximação, use . - Dica prática: sempre procure eliminar variáveis geométricas (aqui
) escrevendo-as em função da variável que realmente muda (aqui ), depois diferencie aplicando a regra da cadeia — esse padrão aparece muito em problemas de vazão/nível.