Uma partícula de 2,0 kg tem coordenadas x y(-1,20 m, 0,50 m) e uma partícula de 4,0 kg tem coordenadas xy ( 0,60 m,-0,75 m ). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenadas a) x e b) y deve ser posicionada uma terceira partícula de 3,0 kg para que o centro de massa do sistema de três partículas tenha coordenadas ( -0,50 m,-0,70 m )?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o conceito de centro de massa. A gente tem duas partículas já posicionadas no plano horizontal, com massas e coordenadas específicas. Precisamos encontrar as coordenadas e para colocar uma terceira partícula de 3,0 kg de modo que o centro de massa de todo o sistema (três partículas) fique nas coordenadas . Para isso, vamos precisar usar a fórmula do centro de massa em cada direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o centro de massa. A fórmula geral para uma direção (x ou y) é:
xcm = sum mi xisum mi
ycm = sum mi yisum mi
Onde e (ou ) são as massas e coordenadas das partículas.

Passo 3

Vamos começar calculando o centro de massa na direção -0,50 = (2,0 times -1,20) + (4,0 times 0,60) + (3,0 times x)2,0 + 4,0 + 3,0 . Sabemos que o centro de massa desejado é . Vamos somar as massas e multiplicar cada massa pela sua coordenada :

Passo 4

Agora, vamos resolver para -0,50 = (-2,4) + (2,4) + 3x9,0 :
-0,50 = 0 + 3x9,0
-4,5 = 3x
Multiplicando ambos os lados por 9:
x = -4,53 = -1,5 , m

Passo 5

Agora vamos calcular o centro de massa na direção -0,70 = (2,0 times 0,50) + (4,0 times -0,75) + (3,0 times y)2,0 + 4,0 + 3,0 . O centro de massa desejado é . Usando a mesma fórmula:

Passo 6

Resolvendo para -0,70 = (1,0) + (-3,0) + 3y9,0 :
-0,70 = -2,0 + 3y9,0
-6,3 = -2,0 + 3y
Multiplicando ambos os lados por 9:
-4,3 = 3y
Somando 2,0 aos dois lados:
y = -4,33 approx -1,433 , m

Resposta

A terceira partícula de 3,0 kg deve ser posicionada nas coordenadas e para que o centro de massa do sistema esteja em .

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