No instante e que a posição de um objeto de 2 kg em relação à origem é r=(2 m) i+(4 m) j (3 m) k, sua velocidade é v=-(6 m / s) i+(3 m / s)+(3 m / s) k e ele está sujeito a uma força F= (6N)i-(8N)j+(4N)k. Determine:
O torque em relação à origem a que está submetido o objeto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre torque! Primeiro, entender o que é torque: é aquela força que faz um objeto girar em torno de um ponto. No nosso caso, queremos saber o torque em relação à origem. Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial entre o vetor posição r e a força F. Então, vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar identificando os vetores que têm no enunciado:
  • Vetor posição: r = 2,m, i + 4,m, j + 3,m, k
  • Força: F = 6,N, i - 8,N, j + 4,N, k
O torque ( tau) é calculado usando a fórmula:
tau = r times F

Passo 3

Agora, vamos usar o produto vetorial para encontrar o torque. O produto vetorial entre dois vetores em três dimensões pode ser calculado usando um determinante. Vamos montar essa matriz:
tau = i & j & k 2 & 4 & 3 6 & -8 & 4

Passo 4

Vamos calcular esse determinante passo a passo:
  1. Componente i:
    i cdot (4 cdot 4 - 3 cdot (-8)) = i cdot (16 + 24) = 40,i
  2. Componente j (lembre-se de mudar o sinal):
    -j cdot (2 cdot 4 - 3 cdot 6) = -j cdot (8 - 18) = -j cdot (-10) = 10,j
  3. Componente k:
    k cdot (2 cdot (-8) - 4 cdot 6) = k cdot (-16 - 24) = -40,k

Passo 5

Agora, juntando todas as componentes que calculamos:
tau = 40,i + 10,j - 40,k N cdot m

Resposta

O torque em relação à origem é tau = 40,i + 10,j - 40,k N cdot m.

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