O Instituto Nacional de Meteorologia (Inmet) resolveu lançar um balão que leva acoplado instrumentos utilizados para previsão do tempo. Considere um balão que apresentava 15 \mathrm{~m}^{3} de volume no momento que foi lacrado no solo, em um local onde a pressão atmosférica vale 1,0 \mathrm{~atm} e a temperatura 27^{\circ} \mathrm{C}. Em certo instante de sua subida, os instrumentos registram uma temperatura de -23^{\circ} \mathrm{C} e pressão atmosférica de 0,5 \mathrm{~atm}. Nesse momento, qual é o volume desse balão? Considere que a massa do gás interno permanece constante.
Resp.: \mathbf{2 5 m}^{\mathbf{3}}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (todos os números e unidades estão abaixo):
  • Volume inicial: V_1 = 15\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão no solo (inicial): P_1 = 1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura no solo (inicial): T_1 = 27^\circ\mathrm{C}.
  • Em certo instante de subida: pressão P_2 = 0{,}5\\ \mathrm{atm} e temperatura T_2 = -23^\circ\mathrm{C}.
  • A massa (ou o número de mols) do gás interno permanece constante.
O que o problema pede:
  • Determinar o volume do balão nesse instante de subida, isto é, encontrar V_2.

Passo 2

Vamos usar a lei dos gases ideais e explicar direitinho o porquê. A lei dos gases ideais é
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão do gás (unidade: aqui usamos \mathrm{atm}, mas a razão das pressões permite mantê-las nas mesmas unidades),
  • V é o volume do gás ( \mathrm{m}^3),
  • n é o número de mols (proporcional à massa do gás),
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin ( \mathrm{K}).
Como a massa (ou n) do gás é constante durante a subida, o produto nR é constante. Assim, podemos escrever para os estados 1 e 2:
P_1 V_1 = nR T_1 \qquad\text{e}\qquad P_2 V_2 = nR T_2.
Dividindo termo a termo (eliminando nR) obtemos a relação útil
\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}.
Despejando V_2 temos a fórmula que vamos aplicar:
V_2 = V_1\cdot\frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{P_1}{P_2}.
Observação importante: é obrigatório usar temperaturas em Kelvin na lei dos gases ideais, porque T deve ser a temperatura absoluta (proporcional à energia cinética média das moléculas). Por isso convertemos °C para K somando 273.

Passo 3

Convertemos as temperaturas dadas em °C para Kelvin:
T_1 = 27^\circ\mathrm{C}=27+273=300\\ \mathrm{K},
T_2 = -23^\circ\mathrm{C}=-23+273=250\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Agora substituímos os valores conhecidos na fórmula de V_2:
V_2 = 15\\ \mathrm{m}^3 \cdot \frac{250}{300} \cdot \frac{1{,}0}{0{,}5}.
Calculamos passo a passo:
\frac{250}{300}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}, \qquad \frac{1{,}0}{0{,}5}=2.
Logo
V_2 = 15\cdot \frac{5}{6}\cdot 2.

Passo 5

Simplificando a expressão numérica:
15\cdot \frac{5}{6}\cdot 2 = 15\cdot \frac{10}{6} = 15\cdot\frac{5}{3}.
Agora
15\cdot\frac{5}{3} = \left(\frac{15}{3}\right)\cdot 5 = 5\cdot 5 = 25.
Portanto o volume do balão nesse instante é 25\\ \mathrm{m}^3. Vai dar tudo certo na prova — respira, você chegou até aqui!

Resposta

\mathbf{25\\ \mathrm{m}^3}

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