1. \int_{0}^{4} \int_{0}^{1} \int_{2 y}^{2} \frac{4 \cos \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{z}} d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{0}^{4}\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2} \frac{4\cos(x^{2})}{2\sqrt{z}}\,dx\,dy\,dz.
O conteúdo envolve usar Fubini para separar a variável z das variáveis x,y e depois trocar a ordem de integração em x,y.

Passo 2

Extraio a parte que depende só de z:
\frac{4}{2\sqrt{z}}=\frac{2}{\sqrt{z}},
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\int_{0}^{4}\frac{2}{\sqrt{z}}\,dz =2\int_{0}^{4}z^{-\tfrac12}\,dz =2\Bigl[2z^{\tfrac12}\Bigr]_{0}^{4} =4\bigl(\sqrt{4}-0\bigr) =8.

Passo 3

Fica então
8\;\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}\cos(x^{2})\,dx\,dy.
O domínio em (x,y) é \{0\le y\le1,\;2y\le x\le2\}. Invertendo a ordem, x varia de 0 a 2 e, para cada x, y vai de 0 a x/2. Assim,
\int_{0}^{1}\int_{2y}^{2}\cos(x^{2})\,dx\,dy =\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x/2}\cos(x^{2})\,dy\,dx.

Passo 4

Como \cos(x^{2}) não depende de y,
\int_{y=0}^{x/2}\cos(x^{2})\,dy =\cos(x^{2})\cdot\Bigl[\;y\Bigr]_{0}^{x/2} =\frac{x}{2}\,\cos(x^{2}).
Portanto
\int_{0}^{2}\frac{x}{2}\cos(x^{2})\,dx =\frac12\int_{0}^{2}x\cos(x^{2})\,dx.
Faço u=x^{2}, du=2x\,dx, x\,dx=\tfrac{du}{2}, indo de u=0 a u=4:
\frac12\int_{0}^{2}x\cos(x^{2})\,dx =\frac12\int_{0}^{4}\cos(u)\,\frac{du}{2} =\frac{1}{4}\int_{0}^{4}\cos(u)\,du =\frac{1}{4}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{4} =\frac{\sin(4)}{4}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator 8 obtido em z:
8\cdot\frac{\sin(4)}{4} =2\sin(4).

Resposta

2\sin(4)

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