\int_{-1}^{1} \int_{x{2}}{1} \int_{0}^{1-y} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-1}^{1}\int_{x^{2}}^{1}\int_{0}^{\,1-y}dz\,dy\,dx
sobre a região em (x,y,z) dada por -1\le x\le1, x^{2}\le y\le1 e 0\le z\le1-y. Vamos usar o Teorema de Fubini para integrar em ordem dz, depois dy e por fim dx.

Passo 2

Integramos primeiro em z, tratando y como constante:
\int_{0}^{\,1-y}dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{\,1-y} = 1 - y.
Assim a integral vira
\int_{-1}^{1}\int_{x^{2}}^{1}(1-y)\,dy\,dx.

Passo 3

Agora fazemos a integral em y:
\int_{x^{2}}^{1}(1-y)\,dy = \left[y - \tfrac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=1} = \Bigl(1 - \tfrac12\Bigr) - \Bigl(x^{2} - \tfrac{x^{4}}{2}\Bigr) = \tfrac12 - x^{2} + \tfrac{x^{4}}{2}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{-1}^{1}\Bigl(\tfrac12 - x^{2} + \tfrac{x^{4}}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Como o integrando é função par, usamos simetria:
\int_{-1}^{1}\tfrac12\,dx = \tfrac12\cdot2 = 1, \quad \int_{-1}^{1}(-x^{2})\,dx = -2\int_{0}^{1}x^{2}dx = -2\cdot\tfrac{1}{3} = -\tfrac{2}{3}, \quad \int_{-1}^{1}\tfrac{x^{4}}{2}\,dx = \tfrac12\cdot2\int_{0}^{1}x^{4}dx = \tfrac12\cdot2\cdot\tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{5}.
Somando,
1 - \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{5} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{15}

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