Questão 4. Aplique o método de separação de variáveis à EDP
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=u

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a EDP
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = u
e vamos aplicar o método de separação de variáveis, que consiste em buscar soluções do tipo u(x,y)=X(x)\,Y(y).

Passo 2

Para u(x,y)=X(x)Y(y) temos
\frac{\partial u}{\partial x}=X'(x)\,Y(y),\quad \frac{\partial u}{\partial y}=X(x)\,Y'(y).
Substituindo na EDP,
X'(x)\,Y(y)+X(x)\,Y'(y)=X(x)\,Y(y).
Dividindo por X(x)Y(y) (assumindo X e Y não nulas),
\frac{X'(x)}{X(x)}+\frac{Y'(y)}{Y(y)}=1.

Passo 3

Observe que \tfrac{X'}{X} depende apenas de x e \tfrac{Y'}{Y} apenas de y. Para que a soma seja sempre 1, cada parcela deve ser constante. Introduzimos a constante de separação \lambda e escrevemos
\frac{X'(x)}{X(x)}=\lambda, \quad \frac{Y'(y)}{Y(y)}=1-\lambda.

Passo 4

Resolvendo as EDOs:
X'(x)=\lambda\,X(x)\implies X(x)=A\,e^{\lambda x},
Y'(y)=(1-\lambda)\,Y(y)\implies Y(y)=B\,e^{(1-\lambda)y}.
Logo, a solução separável geral é
u(x,y)=X(x)Y(y)=C\,e^{\lambda x+(1-\lambda)y},
onde C=AB e \lambda\in\mathbb{R}.

Resposta

u(x,y)=C\,e^{\lambda x+(1-\lambda)y},
com C e \lambda constantes arbitrárias.

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